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【奧數揭秘】設數字不簡單 隨便作易出錯

2018-12-19

看書時看到了一道題目,說穿了就挺淺易的,但看茪S有點驚喜,想分享一下。

問 題

在圖一中,ABCD是一個長方形,其中E在AB上。圖中DE,CE,BF和CF把長方形分成8個部分,當中a,b,c和d為該部分的面積。

試將d以a,b和c表示。

答 案

如圖二,多考慮兩部分的面積e和f,則a+b+c+e+f和d+e+f都是長方形ABCD面積的一半。因此刪去e+f之後,得d=a+b+c。

這道題目的基本知識,就是三角形面積和長方形面積那樣,不過平常看荂A又未至於一眼就看得出a、b、c和d有那樣的關係。在奧數來說,這題技巧上是小學的程度,不過小學又不會用上了代數那樣,多是用數字的。這裡若果把a,b和c換上了數字,那樣是不是比較簡單呢?做起來時,看來會感覺熟悉一點,沒那麼可怕,只是技巧還是大同小異的。不過,若是用上了數字,學生許多時就想計算些什麼出來,又會想想什麼邊的長度,線段比之類,可能繞了一大個彎,才想到用面積來看。

不過,若果想將a,b和c換上數字,也不是很簡單的事情,也不是可以隨便作的。若是用上了幾何畫板,看看那三個部分的面積,一個改變,另外兩個也會隨之改變的,當中可能隱藏了不少代數上的關係,隨便作數字的話,可能是作不出那個圖來。這是創作幾何題的時候,其中一個頗大的困難。

平常在小學階段,做幾何題,通常那些題目已被很多有經驗的人檢查過,圖也是多數能作出來。若自己想創作一道幾何題、想模仿一下別的題目、改一改數字,那問題就來了。許多幾何題目,想改成數字,沒有那麼簡單,因為幾何經常都牽涉茷雃h隱藏的代數關係,需要非常謹慎。

數字少了,圖就無法固定,例如一個三角形只給了一條邊的邊長,那麼三角形的形狀就不固定了,要是問起面積來就顯得荒謬。這當然是較簡單的情況。除了數字少了,圖形沒固定以外,還有的是可能作多了數字,引致數字之間有矛盾,於是用上了不同的計法,有不同答案,這也是容易出錯的地方。

通常在創作一道幾何題目時,都需要有比那道題目的程度更高的知識,才可以判斷得了各式各樣的幾何關係,有沒有矛盾。例如圖三裡的直角梯形,若是想在JM上寫數字,就不是隨便的,若寫了少於3,那樣已經比KL短,不合理。若是寫了比3大的,也是普遍不合理的,因為JM事實上已經固定了,需要用畢氏定理計出來。要是創作時想問周界,把JM作了不適合的數字,題目就會出問題。謹慎一點的做法,是可以作了數字後,用幾何畫板畫一次出來,那就比較準確了。

學生在學習幾何的時候,若果基礎夠好,嘗試一下創作題目,也是一種學習方法,令學生對幾何題目有深一層體會,也是好事。

■香港數學奧林匹克學校

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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