這次分享一道關於有理數的問題，然後談談學習方法。
問 題
證明任何正有理數均可寫成若干個有理數的平方之和。
答 案
設有理數為[p][q] ，其中p和q皆為正整數。那麼考慮[p][q] =pq×[1][q2] =[1][q2] +[1][q2] +...+[1][q2] ，則命題得證。
問題原本看來還真夠普遍，討論的是所有的正有理數，開始時我也覺得這怎麼可以，於是就試試一些具體數字。試[3][4] ，察覺到可以拆成[1][4] +[1][4] +[1][4] ，然後想到分母是平方數，那當然可以，又想到分母不是平方數又怎樣，就想到[2][3] ，那樣看來也難一點，不過想到了即使分母不是平方數，還是可以通過擴分，使分母化成平方數，即[6][9] =[[1][9] +[1][9] +...+[1][9] ] [6個]。之後也不難想到，對於普遍的情況，都可以有差不多的做法。
答案說出來當然很容易，做數時若沒頭緒，用一個特殊例子，想想怎樣做到，至少有一點點成功感。然後改改條件，看看怎樣推論一下，也至少有個起步點，未至於會束手無策。今次幸運地做到了，也不是次次都那麼幸運。不過就算做不到，找到一個較近似的結果，在學習上來說，也有進步。
在學生時代，未必分得清楚考試與平常學習的分別。考試的時候，若是只有答案分，那對錯就很清晰，錯一點也是錯，全題沒分數。不過在平常學習時，十步錯了一步，就只是錯一步，記着下次不錯相同的事就行。有時錯的可能跟相關的課題無關，並非重點，只是運算上偶有失誤，這也難以完全避免，只需盡量控制到少於半成，影響未必很大，當然，若想將來在數理上發展，要求也可以高一點。
在平常的日子裡，學生記錄錯誤是重要的，溫習時就會明白要修正什麼，否則憑空說溫習，但不知道自己需要溫習什麼。
每個學生錯的地方都有分別，自己平日做的學習記錄，比起什麼教科書和筆記都重要，就算交學費也買不到。只有自己的學習記錄，才會明明白白地寫出自己曾經錯過什麼，方便之後溫習。
不過，學生有時會希望自己的筆記寫得整齊漂亮一點，就把錯誤都用塗改帶塗去了，只餘下正確的部分，那樣看來寫的都對，但溫習時就失了重點，效率就低了。重要的是在記錄時，分清楚正確與錯誤之間的關鍵在哪裡，明白要在思想上要修正什麼，才是有效的學習。
有時候學生在考試中失分，往往歸咎於「不小心」，但這點不小心，還是有程度的差別，若是多做記錄，多觀察自己的錯誤，不時可以找到線索，明白自己可以怎樣謹慎一點。
學奧數其中一個難處，就是部分學生對自己的思考很有要求，希望很快想到答案，也想省去了許多步驟，但偏偏題目許多時複雜到一個地步，即使全部想法都寫下來，也難免有錯，於是學生就對自己的集中能力要求過高，然後在不斷錯誤之中失去應有的自信。
學習時先學會寫步驟，在圖解和文字之中表達自己的想法，做好學習記錄，然後一步步省去多餘的部分，才是有效的學習。
相反，什麼都放在腦海裡運算，往往只能解決簡單的問題，在缺乏表達下，錯了也難以被老師修正，長遠來說才是低效率。 ■張志基
■香港數學奧林匹克學校
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
