高中生有時遇上對數的問題，看着對數的法則多得很，覺得挺疑惑的。疑惑的感覺主要有幾方面，一是符號比較新鮮；二是法則背後的原因未必理解得很通透；三是練習多了法則，反倒是最基本的定義就忘了；四是看到許多迷惑，練習也覺得困難，錯多了，動力也少了，基本功就不太穩。
其實指數和對數，通常都是連在一起說的，原因也很易理解。想想103 = 1000這道算式，其實就是10、3和1000三個數的關係。如果三個數之中有一個未知，怎樣由其他兩個推出來呢？比如說，什麼的3次方是1000呢？根據指數的定律，就是1000 [3][1] = 10。然後又再問，那麼10的多少次方是1000呢？那就是log10 1000 = 3。這樣看對數，就會覺得發明對數是很自然的事，就是當未知數在指數之上的時候，就需要用對數來求。
這裡也有個小心得可以分享一下，就是log101000 = 3這個特殊例子，可以用來記住對數的含意。事實上，有時當那些對數的底又改變了，又變了許多代數式出來，感覺很混亂，開始搞不清楚什麼底和指數之類，想想這個特殊例子，許多時感覺會明白一點。
對數其中一個令人覺得陌生的原因，是因為它難以直接計算，要用計算機計出來，於是學生很容易對它的數值變得沒什麼概念。事實上，它的數值是有點明顯的意思。
例如觀察log100 = 2，當中的100就有3個位；再觀察log1000 = 3，當中的1000就有4個位。不難看出，凡是3位數，取對數後的值都是2和3之間。也就是說，以10為底的對數值，是跟數字的位數有直接關係的。
問 題
已知log2 = 0.301，那麼240有多少個位？
答 案
考慮log240 = 40log2 > 40 × 0.3 = 12，得知240至少有13個位。另外，40log2 < 40 × 0.302 = 12.08，得知240未夠14個位，因此它只有13個位。
學生談起對數，覺得對數太陌生，又不太知道怎樣用。事實上，在一些應用題裡，也就多少有點用處，只是做到那些應用題時，往往是題目比較長，看着就不耐煩了，而且也不太會做，因此也沒有深思當中的生活意義。
對數的問題，有一個很實際的情景，就是複利息的問題。比如存入10000元，年利率2%的話，存款年期為t，則本利和為10000 × (1+2%)t。若要知道多少年後可以有一個指定的數目，比如30000，就可以解方程10000 × (1+2%)t = 30000。這當中是會牽涉對數的。
複利息的情景很重要，比如貸款，若果利息是以複利息計算，那個增長很厲害。這個要感受到，就要看圖像了。
圖一裡顯示的是每次增長10%的時候，年期到了十幾年左右，就是原先的5倍，大得很，這個就是指數增長的威力了。那是收入還好，若是支出就麻煩了。
奧數裡對課程內數學的理解，要求很高，要很能融會貫通才行。有時課程內要教得仔細，一章一節地教，學生學起來就覺得太零散，缺乏一個宏觀的視角。若是能力足夠的學生，在奧數裡看到能融會貫通的地方，又有足夠能力去深入計算和解難，那學起來就有個比較完整的系統。這也是學習奧數其中一個好處。 ■張志基
註︰上期「跟平常的三角函數關係cos2(x)-sin2(x) = 1非常相似」，算式應該為cos2(x)+sin2(x) = 1，敬希垂注。
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
