看書時看到一道幾何題，試着做做看，也算做到了，先分享一下，再談談自己怎樣想出來的。
問 題
P是等邊△ABC邊BC上一點，連AP，作AP的垂直平分線分別交AB及AC於M及N。求證：BP．PC = BM．CN。（圖一）
答 案
如圖二，由垂直平分線的條件，已知△ADN?△PDN (SAS)及△ADM?△PDM (SAS)。
設∠NPC = 2θ，則由三角形的外角，得∠AND=[60o+2θ] [2]=30o+θ。
然後由三角形內角和，得知△AMD=180o-60o-(30o+θ)=90o-θ。
再由直線上的鄰角，得∠PMB=180o-(90o- θ)×2=2θ。
由於△ABC為等邊三角形，∠B=∠C=60o，因此△BPM?△NCP(AA)。
於是[BP] [CN]=[BM] [PC]，即BP．PC = BM．CN。
解題的想法怎樣來的？其實題目結果裡的線段，BM、BP、PC和CN，都是△MBP和△PCN的邊，而由於∠B和∠C都是60o，算式又可以變成[BP] [CN]=[BM] [PC]，因此解題就會沿着△MBP和△PCN的相似性入手。
另外，兩個三角形已經各有一隻角相等，因此只需要找到另外一隻角相等就行。P點是兩個三角形的公共點，沿着P點有兩個三角形的內角，因此設未知數時在P點附近的角，大概會比較方便，因此便取了∠NPC為2θ。至於為何要2θ，而不是θ，也是有原因的。圖中△ADN和△PDN全等是很易看出來的，也會看到∠AND和∠PND一樣，若果將∠AND用∠NPC=2θ來表示，那樣就不會出現分數，否則若果設∠NPC=θ的話，∠AND會變成30o+[θ] [2]，計算起來可能要通分母，比較麻煩，因此設∠NPC為2θ比較好。
設了∠NPC為2θ之後，方向已經明顯地要證明∠PMB也是2θ，那才可以進一步證明△MBP和△PCN相似。這個由∠PMB的鄰角考慮，把它們都用上了θ來表示，大概也差不遠，而事實上那就成功了。
以上是筆者解題時的思考過程。事實上，正式的答案比這個方法還要短，答案裡直接指出△AMN?△PMN，然後∠MBP=∠MAN=∠MPN=60o，由三角形的外角，就可知∠PMB+60o=60o+2θ，得∠PMB=2θ。這個比筆者的想法更快一點。
解題之先，其實很難知道方法好不好，就只是探索着，能夠有條有理找做出合理的假設，方便了之後的計算，也就夠好了，很難要求一下子就想到極短極快的方法。通常很快的方法，是在第一次解題之後，想通想透了，然後把許多分支細節都省去，餘下的留下來，才令人看來覺得很短很精妙。
這點精簡當然有它的吸引力，但也令到真正解題的思路隱藏了，讀者看來就是無緣無故轉了許多彎，也不知怎樣想出來的。這篇希望做到的是，如實地表達出真實的解題思路，讓讀者參考一下。未必是最好的，但這點分析比較少見，即使奧數書裡的分析，許多時還是比較簡短，沒這裡詳細。
學數學其中一個難點，就是無論別人想出來的主意怎樣好，最難就是明白他們怎樣想出來。有些人想出好主意來，但不代表他能夠自覺自己怎樣想出來的，於是主意多，但未必教得了別人。當然，也有些過程真是解釋不了，有些主意是自己想了出來，也不知怎樣想出來。剛好筆者這次解題的過程，都是能在自覺中完成，那就分享一下。
解一道題目，回顧自己解題的策略，也回顧一下自己怎樣思考這點策略，亦是一種反省和學習。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。■香港數學奧林匹克學校
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