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【奧數揭秘】學解題思維 簡短未必好

2019-05-15

看書時看到一道幾何題,試荌粥筋搳A也算做到了,先分享一下,再談談自己怎樣想出來的。

問 題

P是等邊△ABC邊BC上一點,連AP,作AP的垂直平分線分別交AB及AC於M及N。求證:BP.PC = BM.CN。(圖一)

答 案

如圖二,由垂直平分線的條件,已知△ADN?△PDN (SAS)及△ADM?△PDM (SAS)。

設∠NPC = 2θ,則由三角形的外角,得∠AND=[60o+2θ] [2]=30o+θ。

然後由三角形內角和,得知△AMD=180o-60o-(30o+θ)=90o-θ。

再由直線上的鄰角,得∠PMB=180o-(90o- θ)×2=2θ。

由於△ABC為等邊三角形,∠B=∠C=60o,因此△BPM?△NCP(AA)。

於是[BP] [CN]=[BM] [PC],即BP.PC = BM.CN。

解題的想法怎樣來的?其實題目結果裡的線段,BM、BP、PC和CN,都是△MBP和△PCN的邊,而由於∠B和∠C都是60o,算式又可以變成[BP] [CN]=[BM] [PC],因此解題就會沿荂然BP和△PCN的相似性入手。

另外,兩個三角形已經各有一隻角相等,因此只需要找到另外一隻角相等就行。P點是兩個三角形的公共點,沿紞點有兩個三角形的內角,因此設未知數時在P點附近的角,大概會比較方便,因此便取了∠NPC為2θ。至於為何要2θ,而不是θ,也是有原因的。圖中△ADN和△PDN全等是很易看出來的,也會看到∠AND和∠PND一樣,若果將∠AND用∠NPC=2θ來表示,那樣就不會出現分數,否則若果設∠NPC=θ的話,∠AND會變成30o+[θ] [2],計算起來可能要通分母,比較麻煩,因此設∠NPC為2θ比較好。

設了∠NPC為2θ之後,方向已經明顯地要證明∠PMB也是2θ,那才可以進一步證明△MBP和△PCN相似。這個由∠PMB的鄰角考慮,把它們都用上了θ來表示,大概也差不遠,而事實上那就成功了。

以上是筆者解題時的思考過程。事實上,正式的答案比這個方法還要短,答案裡直接指出△AMN?△PMN,然後∠MBP=∠MAN=∠MPN=60o,由三角形的外角,就可知∠PMB+60o=60o+2θ,得∠PMB=2θ。這個比筆者的想法更快一點。

解題之先,其實很難知道方法好不好,就只是探索荂A能夠有條有理找做出合理的假設,方便了之後的計算,也就夠好了,很難要求一下子就想到極短極快的方法。通常很快的方法,是在第一次解題之後,想通想透了,然後把許多分支細節都省去,餘下的留下來,才令人看來覺得很短很精妙。

這點精簡當然有它的吸引力,但也令到真正解題的思路隱藏了,讀者看來就是無緣無故轉了許多彎,也不知怎樣想出來的。這篇希望做到的是,如實地表達出真實的解題思路,讓讀者參考一下。未必是最好的,但這點分析比較少見,即使奧數書裡的分析,許多時還是比較簡短,沒這裡詳細。

學數學其中一個難點,就是無論別人想出來的主意怎樣好,最難就是明白他們怎樣想出來。有些人想出好主意來,但不代表他能夠自覺自己怎樣想出來的,於是主意多,但未必教得了別人。當然,也有些過程真是解釋不了,有些主意是自己想了出來,也不知怎樣想出來。剛好筆者這次解題的過程,都是能在自覺中完成,那就分享一下。

解一道題目,回顧自己解題的策略,也回顧一下自己怎樣思考這點策略,亦是一種反省和學習。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。■香港數學奧林匹克學校

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