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【奧數揭秘】二倍角公式

2019-05-29

高中的時候,談起三角函數,其一個簡單的結果,就是二倍角公式,關於正弦的二倍角公式,形式為sin2θ = 2sinθcosθ。這道簡單的公式若是變化起來,也有些特別的結果。

剛才的結果,由始至終都只是用一道算式而已,就是二倍角的公式,只是初初看來,也不一定覺得很淺易,一看就懂。問題其中一部分會有推廣的部分,在平常的課程內,很少叫學生做完題目再推廣。要是對數學有興趣的學生,多數想完問題,都會問起更普遍的情況是怎樣,這種想法叫普遍化,簡而言之就是推廣一下。

原本只用到簡單的二倍角公式,但推廣起來,結果看來也挺新奇的,還可以有很多項乘起來,然後最後又化簡到只剩一個分式,這也展現了規律之中的簡潔美。由解難的角度看來,這道題目是不算難的,但若是由發現數學規律的角度看,這一道題,由二倍角公式,推導出許多個三角函數的乘積,是可以大幅化簡,也是有它的啟發性。

談起二倍角公式,也談談怎樣學習三角學。三角學的其中一個重點,就是要駕馭那些三角函數的化簡。在課程內,試卷往往也是有些三角函數的公式,但看茪~懂得做,多數都是做不好的,一定要記荂A多運用才會熟練。

事實上,計算那些三角函數時,變來變去,用一大堆痤它﹛A當中的角度隨時又有變化,而二倍角公式還只是其中一條而已,若不是經過一大堆練習,很難掌握到當中的變化,從而鍛煉出洞察力。這點洞察力,說的就是在運算之前,已經大致知道什麼方向,知道用哪幾道痤它◎|較有用那樣。若是較缺乏經驗的,往往變來變去也無法得到想要的形式,做起來就事倍功半。

化簡關於三角函數的算式,是其中一個重要的基礎,學起來時至少要做幾十題,才可以比較熟練。否則即使見過一些痤它﹛A也不代表會用得好、用得精。相反,若是沒記住公式,想要即時看虒旍髐W的公式就計出來,多數做不來的。要是想數學學得好一點,就要明白一道算式可以有很多痤汀雂ヾA而各個形式都多少可以看到部分資訊,比如2sin(x+a),當中a為常數,就不難看到算式的最大或最小值;若是展開了,變成2sin x cos a+2cos x sin a,那些最大最小值就沒那麼明顯。若是想自己能夠在數學上多點探索,就要掌握三角函數式各樣的痤汀雂ヾA那才能夠增加對算式的了解。

數學有時要操練刻板的功夫,說不上有趣,但缺乏這點基礎,就難以行前一步。踏實地練好基礎,不去妄求捷徑,是很重要的。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。■香港數學奧林匹克學校

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