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【奧數揭秘】梅涅勞斯定理

2019-06-12

之前提過幾何學中的塞瓦定理,通常會跟另一條定理並提,這就是梅涅勞斯定理。放在一起的原因很簡單,就是因為梅涅勞斯定理可以用來證明塞瓦定理,不過寫出來的話就太多算式,讀者有興趣可以上網找找看。

梅涅勞斯定理:在△ABC的三邊BC、CA及AB或其延長線上有點D,E及F,若D,E及F共線,則[BD][DC] .[CE][EA] .[AF][FB]  = 1(如圖一)

問 題

問題:在圖二裡,△ABC內,D為BC的中點,E是AB上的一點,F為CE與AD的交點,其中FD = 2FA。求[AE][EB] 。

答 案

考慮△ABD及直線EFC,則有

[AE][EB].[BC][CD].[DF][FA]= 1

[AE][EB].[2][1].[2][1] = 1

[AE][EB]= [1][4] 

剛才這道題目,若果沒用到梅涅勞斯定理,也可以用三角形的線段比與面積比做到,有興趣的讀者可以試試。

這些線段比的問題,在奧數裡初次接觸的時間,多數在小五小六的比賽題目裡,通常是最難的那幾題。梅涅勞斯定理和塞瓦定理,為這些線段比的問題,提供了線索。

梅涅勞斯定理的背景是簡單的,就是一個三角形和另一條線與三角形三邊的交點,就有這個線段比關係。任意一個三角形和直線的情景是很普遍的,也就顯示了這個線段比關係是相當普遍。另外,梅涅勞斯定理的逆定理也是成立的,也就是說,若是△ABC三邊BC、CA及AB或其延長線上,有三點D、E和F,符合

[BD][DC].[CE][EA].[AF][FB]=1,則D、E和F共線。梅涅勞斯的逆定理,是思考點共線問題的一個方向。

談起塞瓦定理與梅涅勞斯定理,其實有點難學,因為課程內沒有,奧數裡才有,於是練習的都是奧數題目,那當然相當有難度。遇茪@些寫得深入淺出的奧數書還罷了,遇到難的練習,真的會明知要應用,卻解不了題。當然,若是遇上這種情況,要練習也可以,就是自己出題目。

比如說,按蚚D目的情景,畫個三角形,然後量度一下線段長度,再用定理驗證一下,這也是練習的方法。到驗證了幾次,也可以改一改情景,由淺入深地練,或者連繫其他定理。

這種學習當然是難的,比起書中就有練習要困難許多。只是平常的書局裡,數學書又少又難找,雖然網上書店有不少,但找到適合自己的還是很困難。

看茪@道定理,只要自己有點出題目的能力,就可以驗證一下結果,或者跟其他定理綜合應用一下,或者對舊題目作一些新的解釋,或者加添一些看舊問題的新角度,也是練習的方向。

這點學習是不是有點刻苦呢?當然的,不過能承擔這點苦,也就造成了自己與其他人的分別。越過了一個難關,也就比那些過不了關的人好。才能不是天掉下來的,一關一關地過,就會明白,自己為什麼跟其他人有點分別,然後自信就來了。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。■香港數學奧林匹克學校

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