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【奧數揭秘】整除題目

2020-09-16

這次介紹一道關於整除的題目。

問 題:

設x為正整數,f(x) = [3x2 - 2x - 9][x2 - 2x - 3] ,若要使f(x)為整數,x的最大值是多少?

答 案:

整理後,f(x) = [3x2 - 6x - 9 + 4x][x2 - 2x - 3]  = 3 + [4x][(x - 3)(x + 1)] ,

若要這個數為整數,則必有(x + 3)和(x + 1)整除4x。

由於(x + 1)和x是連續數,兩數最大公因數必是1,因此(x + 1)整除4。

(x + 1)只能是2或4,即x分別只能是1或3。

由於x為3時,原式無意義,再由驗算得知,x可以為1,

因此使f(x)為整數的x最大值是1。

解題的關鍵,在於把原本的分式化為較簡單的分式,當中滲入了多項式的除法,有點像小學時假分數轉成帶分數的技巧。之後用上了連續數互質的性質,得知(x + 1)是4的因數,那樣原本沒限制的x值,就被4的正因數個數限制了,然後就可以逐一檢驗,最後得出答案。

代數變形的技巧,在課內數學埵酗ㄓ痋A比如簡單的有因式分解和展開,或者高中教的一元二次函數的配方法,都是代數變形的常見例子。這堨峇W了整除的性質,則在數學競賽堣~比較常見,課內很少會談到這部分。

在中學階段,讀數學比較認真的學生,有時也未必懂得怎樣有方向地做代數變形。比如多項式,若見到展開了,就想做因式分解,或者見蚨潀’]式分解了,就會想展開看看,未必有什麼方向感。題解堨帡ㄙk並不是隨意的,主要是想把分子的次方降低,就是未做完之前就能預知到之後會較簡單才去做的。有時做代數變形,就是要有這方向感。

即使成績較好的學生,遇上較複雜的問題,變來變去也沒能變出想要的形式,只能盲目地應用茼U種痤它﹛A或者想添項拆項,但又不見得簡化了什麼,倒是愈做愈複雜。課內的題目,簡單起來,只要盲目地嘗試多幾個變化,運氣夠好的話,就可以處理,於是這點盲目帶來的影響沒那麼明顯。到了處理奧數的題目,變化大了,沒方向的隨意變化,基本上都是變不完的,而且奧數的變化還可以有很多創意,於是技巧愈見愈多的時候,愈來愈找不蚥雂う瑤u索。

解題有點方向感是好的,不過經驗未夠的時候,也難免要在嘗試中累積經驗,等經驗足夠多了,才有一些較抽象的領悟,明白大致上做什麼可以有什麼結果。這些領悟出來的心得,並不是定理,用起來不能太死板,比如奧數堣]有些排序原則、極端原則之類的解題想法,都不是一些有固定條件的定理和公式,沒法生搬硬套。用起來也許有用,也許沒有改善,都有可能,至於怎樣才用得好,要靠自己在做數過程中練出來的,別人很難說得明白。

做數學題中反省出來的心得,或者平常讀書的心得,往往說出來時,都是滿足某些條件下才正確的,這些都要在練習時嘗試應用,有時或會遇上不適用的情況,日子久了才明白真正適用的範圍是怎樣的。聽茪@些學習心得,生搬硬套解決不了問題,就覺得心得沒有用,這樣別人分享了什麼心得也吸收不來。這個真是學習的一大誤區,要小心注意。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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