初初接觸奧數的人，多數都是由巧算題開始，就是怎樣把平常的加減乘除計得快一點。當中的問題，固然是特別設計的，學習重點在於明白怎樣把巧算的技巧應用在平常的運算中。由初時學生未懂巧算技巧，到由特殊設計的問題中，理解到巧算技巧，再由日常在計算術時的觀察中，漸漸應用到各樣的巧算技巧，加快運算速度，這就是學習巧算的過程。這次介紹一道巧算題。
問 題：計算12 - 22 + 32 - ... - 19982 + 19992。
答 案：考慮恒等式a2 - b2 ≡ (a + b)(a - b)，
留意到-22 + 32 = 32 - 22 = (3 + 2)(3 - 2) = 2 + 3，
類似地有-42 + 52 = 4 + 5。
因此原式化為
1 + 2 + 3 + ... + 1998 + 1999 = = 1999000。
解題過程中，除了用到恒等式，也用上了1 + 2 + 3 + ... + n = 的求和公式，這個求和公式太出名，這裏就不詳述。不難發現，若果最右邊的項不是19992，而是再大一點的數，比如29992時候，只要順着恒等式的想法，改改數字還是做得到。
改數字看來容易，但若果改的不是最右項底下的數1999，而是改指數上的數字，那就會難起來，比如計算13 - 23 + 33 - ... - 19983 + 19993，題解裏的恒等式就不管用了，因為各項都不是2次。跟題解裏2次的恒等式差不多的，也有3次的形式，比如a3 - b3 ≡ (a - b)(a2 + ab + b2)。只是這樣做下去，當中有些項比如-23 + 33 = (3 - 2)(32 + 3 ×2 + 22) = 22 + 2 × 3 + 32，看起來就不簡單。沿着這個思路好像會挺多曲折，但其實也有辦法的，就是把算式化成13 + 23 + 33 + ... + 19993 - 2(23 + 43 + 63 + ... + 19983) = 13 + 23 + 33 + ... + 19993 - 16(13 + 23 + 33 + ... + 9993)，然後再知道13 + 23 + 33 + ... + n3 = 就可以了。有興趣的讀者可以試做看看。
單是上文提到的公式已有兩條，那若是不懂什麼公式的話，要怎樣探索這道問題才好？老實說，不懂公式，也可以作為一個問題，繼續思考下去的，閒時在網上找找資料，或者找找書都可以，未必一定要答得很徹底，因為這個問題是自己提出來的，不是什麼功課，也不是什麽考試升班那回事，不會做不到就有什麼壞後果。
比如之前的問題，也有些沒常見公式的問法，例如把指數改成根號，即是怎樣計算[1] - [2] + [3] - ... - [1998] + [1999] ？這樣就未必很易計到準確值了，那就可以轉個問法，例如可以問它的範圍，大概在哪兩個連續整數之間。
這些問題看來有點難，只是也沒需要一朝一夕就懂，或者讀多了一點之後，知道的工具多了，又會有新的看法。閒時把舊的巧算題推廣一下，推廣到有些自己未答得出的問題，留在腦海裏，久不久思索一下，也是一種趣味。
求學的時候，平常把自己未能解決的問題記下來，閒來思考一下，是好的習慣。生活裏有許多等待的時間，比如等車等人，腦海裏其實也可以思索着各樣的事情，比如探索一下數學，那至少比閒着多一個選擇。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校