這次分享一道關於整數部分的題目，然後談談當中技巧的變化。先談談整數部分是什麽意思。對於正數來說，比如3.5，整數部分就是3；若是整數4，整數部分就是4。說得精準一點，就是不大於該數的最大整數的意思。聽起來好像很艱澀，直觀一點看，對於正數來說，若是整數，該數的整數部分就是自己，若果是小數，整數部分就是小數點左方的那堆數字。至於負數的情況，這次暫不討論。
問一個較簡單的問題，[440] 的整數部分是什麽？若是按計算機，當然很快計得到，但就算不用計算機也有方法，就是看看440剛好在哪兩個連續平方數之間。因為202 < 440 < 212，所以取平方根後，得知20 < [440] < 21，也就是說，[440] 的整數部分為20。以下的問題是代數的形式，也是類似想法。
題目比起之前討論的[440] ，根號內變成了代數式，在比較大小上，也就多了一點陌生感。根號內的m(m + 1)，是因式分解了的形式，比較大小時還算明顯，若果展開成m2 + m，就沒那麼明顯了，要是再進一步，問[m2 + m + 1] 的整數部分，看起來就更陌生了。按着之前比較大小的方式，要知道[m2 + m + 1] 比m大很容易，要留意的是右方的情況，注意到m2 + m + 1 < m2 + 2m + 1 = (m + 1)2，即根號內的代數式，仍然小於(m + 1)2，跟之前討論的情況一樣。要是開始時就問的[m2 + m + 1] 問題，那就難一點了。
小學時，把小數、分數和百分數作大小比較，是常見的問題。到了中學，中三左右會教不等式，但較少直接去比較代數式的大小。其實在一定範圍內，代數式也可以比較大小，比如剛才就是當m是正整數時，比較m2、m2 + m + 1和(m + 1)2的大小。
普遍來說，把一些較複雜的代數式與一些形式較簡單的代數式互相比較大小，對於這個複雜的代數式的數值大小，就多了一點較具體清晰的了解，也容易想像出該代數式的圖像，留意到當中的大小變化與趨勢之類。
代數式的大小比較，技巧變化挺多，平常的課程很難講得多，因為比較困難。通常都是奧數題裏，久不久要用些不等式技巧，才會多點時間鍛煉。這些不等式的技巧，除了要有數學知識，也需要很多創意，因為估計代數式的時候，上限和下限的形式都是自己定，範圍太大，資訊就少了，範圍要窄得來又簡潔，資訊又夠用在要解決的問題上，當中的難處，都要自己解過一些較難的奧數題，才明白當中艱深的地方。
奧數說得太難會令人有點害怕，但輕鬆一點看，就是難的題目並不一定要做得到。事實上，就算是學得相當好的同學，也有四五成題目做不來。以較難的比賽題目來說，能做對七成左右，就已經是金獎水平，銅獎也只是做對三四成左右。這些數據在不同比賽中會有分別，不過簡單來說，就是奧數本身沒有需要做到大部分題目才算好，重要的是找到一些課程深度以上的題目，在鍛煉中提升能力和興趣，那就是適合自己的難度。 ■張志基
■香港數學奧林匹克學校
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。