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【奧數揭秘】代數式的比較

2020-06-18

這次分享一道關於整數部分的題目,然後談談當中技巧的變化。先談談整數部分是什炤N思。對於正數來說,比如3.5,整數部分就是3;若是整數4,整數部分就是4。說得精準一點,就是不大於該數的最大整數的意思。聽起來好像很艱澀,直觀一點看,對於正數來說,若是整數,該數的整數部分就是自己,若果是小數,整數部分就是小數點左方的那堆數字。至於負數的情況,這次暫不討論。

問一個較簡單的問題,[440] 的整數部分是什活H若是按計算機,當然很快計得到,但就算不用計算機也有方法,就是看看440剛好在哪兩個連續平方數之間。因為202 < 440 < 212,所以取平方根後,得知20 < [440]  < 21,也就是說,[440] 的整數部分為20。以下的問題是代數的形式,也是類似想法。

題目比起之前討論的[440] ,根號內變成了代數式,在比較大小上,也就多了一點陌生感。根號內的m(m + 1),是因式分解了的形式,比較大小時還算明顯,若果展開成m2 + m,就沒那麼明顯了,要是再進一步,問[m2 + m + 1] 的整數部分,看起來就更陌生了。按茪妨e比較大小的方式,要知道[m2 + m + 1] 比m大很容易,要留意的是右方的情況,注意到m2 + m + 1 < m2 + 2m + 1 = (m + 1)2,即根號內的代數式,仍然小於(m + 1)2,跟之前討論的情況一樣。要是開始時就問的[m2 + m + 1] 問題,那就難一點了。

小學時,把小數、分數和百分數作大小比較,是常見的問題。到了中學,中三左右會教不等式,但較少直接去比較代數式的大小。其實在一定範圍內,代數式也可以比較大小,比如剛才就是當m是正整數時,比較m2、m2 + m + 1和(m + 1)2的大小。

普遍來說,把一些較複雜的代數式與一些形式較簡單的代數式互相比較大小,對於這個複雜的代數式的數值大小,就多了一點較具體清晰的了解,也容易想像出該代數式的圖像,留意到當中的大小變化與趨勢之類。

代數式的大小比較,技巧變化挺多,平常的課程很難講得多,因為比較困難。通常都是奧數題堙A久不久要用些不等式技巧,才會多點時間鍛煉。這些不等式的技巧,除了要有數學知識,也需要很多創意,因為估計代數式的時候,上限和下限的形式都是自己定,範圍太大,資訊就少了,範圍要窄得來又簡潔,資訊又夠用在要解決的問題上,當中的難處,都要自己解過一些較難的奧數題,才明白當中艱深的地方。

奧數說得太難會令人有點害怕,但輕鬆一點看,就是難的題目並不一定要做得到。事實上,就算是學得相當好的同學,也有四五成題目做不來。以較難的比賽題目來說,能做對七成左右,就已經是金獎水平,銅獎也只是做對三四成左右。這些數據在不同比賽中會有分別,不過簡單來說,就是奧數本身沒有需要做到大部分題目才算好,重要的是找到一些課程深度以上的題目,在鍛煉中提升能力和興趣,那就是適合自己的難度。 ■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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