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【奧數揭秘】十字相乘法與係數的關係

2020-06-24

這次分享一道關於一元二次方程的問題,情景很常見。

問 題:一元二次方程式ax2 + bx + c = 0之中,a、b和c都是整數。若方程的解都是有理數,證明:a、b或c中,必有一個雙數。

答 案:假設a、b和c都是單數,設有理數解為 [q][p]  和 [r][s]  其中p、q、r和s都是整數。則有

(px - q)(sx - r) = 0

psx2 - (pr + qs)x + qr = 0

由於ps、-(pr + qs)和qr分別是單數a、b和c的因數,因此亦為單數。

因為ps和qr都是單數,所以p、s、q和r都是單數,但這會推出-(qr + qs)是雙數,矛盾。

因此a、b和c之中,必有一個雙數。

題解中要留意的是,算式psx2 - (pr + qs)x + qr = 0當中,雖然看來跟原本的算式ax2 + bx + c = 0很相似,但不能說a就是ps,c就是qr之類,因為可以是差了一個倍數的。比如4x2 + 2x - 2 = 0,解是[1] [2]和-1,但如上邊的做法,把算式寫成(2x - 1)(x + 1) = 0,展開後得出的算式卻是2x2 + x - 1 = 0,各係數就相差了一個倍數。

這道題有趣的地方,是結論很常見,但沒留意的話真的一直不會發現。係數為整數的一元二次方程,解為有理數的,多數在解一些基本的一元二次方程、練習十字相乘法的時候,就會見過無數條相關的題目,但原來係數當中總有個雙數。說明白了,原理很簡單,但沒聽過的話就未必會留意到。

看奧數的題目,有時用欣賞的角度去看問題,也是挺好的,未必看來就難到不得了的才算好。比如題目的情景很常見,結論卻是從前沒想過的想法,那也不錯。就像這次的情景和結論,若是論難處來說,可能未必有什麼挑戰性,但在看一些一元二次方程的時候,多了一個角度,長遠也豐富了思想。

從應用角度來說,若果見一元二次方程堛澈Y數都是單數,那就不能輕易做到十字相乘,直接用公式好了。比如3x2 - 3x - 1 = 0,係數都是單數,按這次的結論,要解就用公式,不用費神去試用十字相乘。

在平常做數學題的過程中,不時留意一下有什麼情景較普遍的,對學數學很有益處,就像在一個小地區的交通網絡上加多了幾條高速公路,長遠來說,方法也就更快了。

這些情景普遍的題目,好處明顯,但也是可遇不可求,就是想找也未必能找到多少。在艱難的問題堙A耐力練得夠好,遇茬o些較淺易的技巧,一學就會了。若是一心去找些小工具,難找之餘也練不出什麼,一會就放棄了。

暑假快到了,學生多了時間待在家堙A閒時可以看一些數學網頁,培養對數學的興趣。遇上難題時,有意志去鍛煉,不是一朝一夕想做就做得好的,背後都是靠興趣。興趣的來源,有時是些數學故事,有時是有趣的問題,有時是精彩的推理,這些都是依靠閒時體驗。■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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