logo 首頁 > 文匯報 > 百科啟智 > 正文

【奧數揭秘】整數的和與積

2020-09-03

這次談談一道關於整數的和與積的問題,也談談為什麼奧數堿搢茈u有很難的題目。

問題:求最小的自然數n,其中n > 1,使得存在整數a1,a2,...,an,滿足a1a2...an = a1 + a2 + ... + an = 1990。

答案:由於1990是2的倍數,而不是4的倍數,因此左邊的乘積堨u有一個雙數。另外,考慮和是雙數,而各數當中只有一個是雙數,因此單數有雙數個,即n為單數。

若n為3,嘗試分解1990 = 2 × 5 × 199,明顯情況不多,也沒可能。

若n為5,則有a1 = a2 = 1,a3 = a4 = -1和a5 = 1990。

故此n的最小值為5。

這些和與積的問題,看荋N覺得需要的基礎知識都比較少,但提問的方式則比較陌生,比如加起來乘起來有什麼特性,初學時推論之間也不知從何入手。遇蚞蒱う滌暋D,有乘積有整數的結果,思考整除性和因數方面的資訊,也是好的開始方向,由單雙到各個因數的考慮,就算未能解決,也多少能得到一點資訊。

或者開始時未看到整除性,試算茖煽X個數是怎樣,比如其中一個就試1990,其餘乘起來要積不變,不是1就是-1,但要取正數,因此準是要雙數個,而且和之中,1和-1要互相抵消,因此可以猜出正負1各要兩個,再配合1990,n可能是5,然後再看看n有沒有更小的可能。之後若留意到因數的資訊,可能一下子就會想通了。

這道題目看來令人覺得陌生,但又未至於難到需要思索太久,對初中階段或是初次接觸奧數的學生來說,是一道不錯的題目。

奧數在選拔和競賽的階段,問題都是最難的那些,比如平均一小時左右才做一道題目,做證明題,普遍題目變化都很大,需要很多創意。或者是另一些比賽類型的,要計算答案,求數字解的,也有許多難題。

若是在培訓的階段,問題就會淺白一點,多介紹一些常見而簡單的變化,為學生打穩基礎,再按導師的經驗,給予學生多一些思考的角度,或者改善一下學生解難的心態,面對嘗試與失敗時怎樣處理等等。這些淺白的培訓題目,在不少奧數的教科書堻ㄕ部A作者有不少都是代表隊的教練。

以中小學生來說,即使天資再好,各方面的能力都普遍未成熟,要許多啟發和引導。過早強調競賽級的難題,對學生未必有益。

中學奧數的形象,大概就是很難的題目,原因很簡單,因為人們初接觸奧數時,多數是由競賽開始。競賽網頁堣蓿}的題目,或是討論競賽題目的網頁或文章,談論的問題多是競賽級的。名氣較大的競賽,題目也是最難的一批,所以大眾容易有個印象,覺得奧數就是這些很難的題目。在坊間的書店堙A可能久不久才會有幾本寫得較完整又能切合大眾水平的培訓教材,這是多年來的現象。

筆者多年來經常去書店,所以才累積到各個層次的奧數書,加上在奧校教書時,接觸到各層級的教材,所以才剛好有點全面的認識。

由於這堿O一個奧數入門的專欄,所以題目都是選一些較淺白的。那些能做很難的競賽題的學生都不用介紹了,直接去做題目就可以了。■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

讀文匯報PDF版面

新聞排行
圖集
視頻