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【奧數揭秘】圓內接四邊形

2021-02-24

這次分享一道關於圓內接四邊形的問題。

問 題:右圖中,圓內接四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA之長分別為1、8、4和7,求AC的長度。

答 案:由圓內接四邊形的特性,留意到∠B和∠D相加是180o,對於△ABC和△ADC,考慮餘弦定理,得知12 + 82 - 2.1.8 cos ∠B = AC2 = 42 + 72 - 2.4.7 cos ∠D

因為cos ∠D = cos(180o - ∠B) = -cos ∠B

由上式得知65 - 16 cos∠B= 65 + 56 cos ∠B

cos∠B = 0

故此AC = [65] 。

解題過程中,用到了餘弦定理、圓內接四邊形的特性與一些三角學。由cos∠B為0,得知∠B為直角,也就是AC亦是圓的直徑。這個直角的情況挺特殊的,若果剛才考慮的是BD而不是AC,即使仍然可以用餘弦定理,也得不出∠A或∠C是直角的情況,不過仍然可以計出cos∠A的數值,代回去餘弦定理那條公式,仍可求出BD。

改一改數字的話,就會明白對角線都不是直徑才是普遍情況,那麼普遍來說,怎樣求直徑才好呢?這個可以考慮正弦定理,就是三角形內,有[a][sin A]  = [b][sin B]  = [c][sin C]  = 2R。學生普遍都會記得,每邊的長度和對角正弦值的比是固定的數,但容易忽略了這個數是外接圓的直徑。找直徑的過程中出了餘弦值,就能換算出相應的正弦值。

比如運用剛才的題目,用BD來討論一下較普遍的情況。應用餘弦定理,會得到cos∠A = -[13][5] ,相應的正弦值就是sin∠A = [13][12] ,BD則是[13][12[65] ] ,得[sin∠A][BD]  = [65] ,數值當然跟直徑AC的值是一樣。這想法用於對角線都不是直徑的時候。

在普遍的情況堙A若圓內接四邊形的各邊都用了代數,從中想求出對角線和直徑普遍的公式,這是可行的,但做出來的結果可能相當繁複。始終結果做出來之後,記不住還是會很難用。追求較普遍的結果是一回事,但結果是不是好用,還是要顧及到的。題目堛滷●滿A探索到什麼地步,推廣到多普遍,或者限制到多特殊,當中不是愈普遍就愈有用的。

從這次的題目來說,知道若圓內接四邊形的四邊都知道了,就會知道對角線的長度,方法是通過餘弦定理,再由正弦定理得知圓的半徑,領會得到這些就很足夠,如果太細緻地追求公式,反而變得繁瑣。

這些事理是有不同層次的,有些具體得像一條定理,有些抽象一點,是一個策略,有些是一個情景,不能一概而論。在平常的學習之中,一步一步嘗試去評鑑和判斷各個命題與策略,日子久了,就看得出什麼是較有用的想法。培養的方法,就是在解題之後作反省,漸漸由反省方法好不好,到會問好在哪堙A又問起好壞的標準怎樣,愈問愈仔細,就會愈明白自己原有的想法,從而作出改善。●張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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