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2016年5月4日 星期三
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奧數揭秘:離散數學不離地


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踏入3月,迎來春天。春天喚醒了沉睡的大地,使萬物充滿生機和色彩,令生活滿載希望和溫暖。

一年之計在於春,這個數學專欄在春天面世,計劃來年每星期都跟大家談談數學、做做習題。盼望它能收拋磚引玉之效,吸引更多人走進數學的美妙世界,並感受到數學世界中的春天。

數學非一定多「外星文」

在一般人的心目中,數學講求嚴謹的定義與公式,牽涉艱澀的專有名詞,有一大堆像外星文的符號,因此認為數學是高深、可怕或沒有趣味的。

但原來在數學的分支中,有一門叫「離散數學」,英文為Discrete Mathematics。Discrete就是「非連續」、「分離的」,即不是微積分、連續函數那樣的數學。離散數學是研究「離散結構」的學科,核心範疇包括邏輯、排列組合、圖論等等。

「離散數學」似乎沒有那麼嚴謹的定義,較少艱深難明的數學語言。相反,它涉及的問題較容易理解,解決步驟和格式比較隨意,因此也較易令人接受數學。

探討組合最值問題

離散數學中的題型種類繁多,其中的典型例子就是組合最值問題。顧名思義,它們是涉及最大值或最小值的組合問題。簡單地說,題目中的變數(variable)會因應一組對象的安排方式不同而變化,透過適當地安排這組對象,可使變數的相應值取得最大或最小。

解這類型題目,通常有兩個步驟:分析計算、構造例子。

問 題

在右圖的方格裡,每格都填上一種顏色。要求在每一行及每一列上都最多只有兩種不同的顏色。在整個表格中,最多可填上多少種不同的顏色?

(1) 分析計算

把每一行及每一列連續兩個小方格填上兩種不同的顏色(圖1),在餘下的小方格裡就不能填上其他顏色,否則其中一行或其中一列就會出現3種不同的顏色。這種填法最多只能填上4種顏色(圖2)。

其實,要求每一行及每一列上都不能多於兩種色,但又要填上最多的顏色,就要先把既不同行也不同列的小方格,例如對角線上的五個小方格,填上不同的顏色。這樣,每一行及每一列都暫時只有一種顏色,在餘下的小方格裡可多填上一種顏色而依然合乎要求,即共可填上6種顏色。

(2) 構造例子

其中一種填色方法:先把對角線上的五個小方格分別填上紅、橙、黃、綠、青色,然後把其餘小方格都填上藍色(圖3),共可填上6種顏色。其餘方格只要有一格填上藍色以外的顏色,它所在的行和列都會出現3種不同的顏色,因此最多只可填上6種顏色。

還有其他符合要求的填法(圖4),但無論怎樣填,最多都只可以填上6種顏色。

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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