天氣炎熱的日子，被太陽曬得發滾，若果一杯冷冷的水果沙律，給自己拿着涼快一下，感覺倒是爽得很。想起買水果，買的時候當然知道價錢，不過事後只記得自己花了多少錢，忘了每個水果價錢的話，那麽有沒有方法計出來？
比如陳太和周太各買了一些水果，陳太買了5個梨和4個蘋果，共29元；周太買了3個梨和2個蘋果，共18元。那樣設梨為x元，蘋果為y元，就得到以下方程組：
5x+3y=29 ...(1)
3x+2y=18 ...(2)
由(1)×2-(2)×3，可解得x=4，然後代入(1)，可得y=3。
這個是中二程度的課內數學，奧數程度當然不止是這樣。
問 題
解方程組：
答 案
若是把等式左邊通分母加起來，出來的結果可以很煩的，有2次方。
留意方程組的各個數字，比較一下上邊買梨和蘋果的方程組，就會看到類似的東西。原來只要設[1][u+v] [x=]和[1][u-v] [y=]，問題就跟之前的一樣，於是得[1][u+v] [=4]和[1][u-v] [=3]。整理後得如下方程組：
[1] [4][u+v=][...(3)][1] [3][u-v=][...(4)][｛]
由[(3)+(4)][2] ，得[7] [24][u=]。
由[(3)-(4)][2] ，得[1] [24][v=-]。
接通其他代數技巧 增解難能力
以上的解難的關鍵，用到了代換的方法，即是把[1][u+v] 和[1][u-v] 整個兒當成了x和y。這個技巧和課內其實也有多少涉獵的，事實上較難的中二題目，也有代換的部分，只是多數是一道較長的題目的第二部分，而第一部分就好像上邊買水果的情景的那組方程差不多。奧數問題中，用到代換的時刻是很多的，而難處之一就是看不出要用代換，而且即使覺得用着可能有幫助，也想不起把哪一堆當成是未知數好。
用代換的想法，可以延伸出很多問題的，比如買水果情景中的方程組，設x=a+b，y=ab，又會出了道看來複雜的難題：
5(a+b)+3ab=29
3(a+b)+2ab=18
這樣a+b=4，ab=3，可用一元二次方程，解出{a,b}={1,3}，注意a和b可以互換。
現在說穿了技巧，看剛剛這一道題，也沒怎樣的。不過初初接觸的話，大概有不少學生都會做不來。
未知數的代換，一方面能夠把較複雜的問題，分拆成較簡單的表達形式，使計算變得簡便；另一方面，同時亦是出題的方法，使自己能夠在代換之中，接通其他代數技巧，增加自己解決問題的能力。良好的代換，對解難的效果，跟沒有做代換可以差別極大。
代換的原則，其實就是觀察到算式之中，有類似的部分，好像問題中的[1][u+v] ，在兩道算式中都出現，然後就聯想到把它當成一整個未知數x，是一個不錯的嘗試。
平常解難之中，若看到算式不同部分都有類似的項，也可以嘗試代換，這就要自己多觀察了。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
逢星期三見報