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【奧數揭秘】探索幾何定值

2018-01-17

做一些幾何題目,若是沒什狩あr,條件也很任意,要是在這些看來隨意的資料中,找到一些固定的規律,會感覺到一點規律帶來的美感。這次談談一道幾何定值的問題。

問 題

已知AB和CD是圓O上兩條固定的直徑,而P為圓周上任意一點,PM⊥AB於M,PN⊥CD於N,求證MN的長度不變。

答 案

留意到∠PMO=∠PNO=90。,得∠PMO+∠PNO=180。,得知M、N、O、P四點共圓,而且OP為直徑。另外,這個圓亦是△MNO的外接圓。

由正弦定理得知,[MN] [sin∠MON][=OP]

MN=OPsin∠MON

由於OP和∠MON都是固定的數值,因此MN亦為固定的數值。

軟件量度省時更生動

證明裡用到的知識,包括4點共圓,圓的直徑和圓周角的關係,正弦定理等等,都是高中課程內的東西。

不過在奧數的範圍內,中二三左右就要懂。不然這些基本知識不具備的話,探索難題時,方法少了一大截,很快就會想不出什洧荂C而且奧數還有一小部分課外知識,又要混合來使用,而且又要推得深推得遠,因此高中課程內的知識還是及早具備的好。

剛才這道數學題,是講幾何定值的,就是當中的P點不論在什泵鼽m,這個MN的長度總是不變。這個結果,若不是論證一番,還真不易知道是真確的。不過在論證之先,也可以在電腦軟件上欣賞一下這些結果。

現在網上的免費幾何軟件是有不少的,除了基本的作圖外,部分軟件還可以量度線段的長度和角度的大小。比如剛才的幾何定值問題,用軟件量度MN的長度,並移動P點,那樣在過程中,會發覺無論怎樣移動,MN長度都不變(見圖二)。

這個結果在論證中固然看到了,但是真個在圖形上見到,在變化之中看到量度出來的長度不變,那又是別樣的趣味。

幾何定值問題,若是用紙和筆計算和論證,有時好像硬繃繃的,也有點抽象,但在軟件中看到的卻是生動多了,比較感受到那種規律的美感。

奧數的比賽之中當然不可以用軟件的,只是平日在家探索幾何問題的時候,使用一下幾何軟件,就可以對圖形的關係有多點了解。比如猜想某個角度在變化中是否固定數值,就可以用軟件量度出來,若是角度在變化中保持不變,那樣證明時就有信心了。

要是單用紙和筆來計算,或者作圖,就太花時間。

另外,有了軟件來量度各種長度和角度大小,也容易洞察到一些問題沒有提及的關係,加深對圖形的了解。

奧數的學習過程中,固然可以單用紙和筆去計算和推論,不過若是在練習時配合一些電腦軟件,就可以加深對題目的了解,見到一些單用紙和筆難以見到的結果。在軟件的使用之中,也會特別清晰地見到變化之中的規律,提升學習興趣。

在平日的探索之中,對幾何圖形的了解加深了,興趣大了,長遠來說學習動機強一點,也會漸漸加強了能力。善用幾何軟件,是學習幾何其中一個好的方法。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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