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【科學講堂】無限難表達 數線找不到

2018-04-18

量度間尺愈精細 測海岸線愈來愈長?

在日常生活中,如果我們要提及一個很大很大的數值,可能會半開玩笑地說:「無限咁大!」今天就跟大家討論一下「無限」這個古怪的概念,再和大家分享一些相關的科學例子。

「無限」並不是一個數值

大家要留意的是,其實「無限」並非如「700萬」、「12億」等等是一個實質的數字。筆者的朋友曾經遇上一個「詭辯」:大家都應該有在數學課裡學過「數線」。試想像在一條數線上記下「無限」的位置。

不過,「無限」也就是「無窮無盡」,當然「無限除以二、除以三、除以四,還是無限」,因此數線上不應只有一點代表「無限」,而應有許許多多的「無限」。如果你覺得這個結論很古怪,那麼你還是正常得很:「無限」本身只是一個代表「很大數值」的概念,並不是一個實際的數字,因此本來就不會在數線上找到它。要不然在製作統計圖時在數線上冷不防遇上了「無限」,大家可能都不知道如何表達數據了。

「無限」指出耐人尋味之處

既然「無限」並非一個數字,那麼倘若我們在科學探究中遇到它,理論可能就有需要特別留意的地方了。20世紀初的英國科學家理察臣(Lewis Fry Richardson)在嘗試確定國家海岸線長度的時候,發現這個數據眾說紛紜,沒有一個統一的答案;再者,他發現如果用來量度海岸線的單位愈微小(這就好比用來量度的間尺愈精細),所得到的海岸線就會愈長。更令人驚駭的是,隨茈峔荈q度的單位愈來愈小,所得到的海岸線並不會趨向一個特定的數值,反而會無上限般愈來愈大(也就是「趨向無限」)。

建基於這個現象,數學家曼德博(Benoit Mandelbrot)發展了一門新的幾何學分支:分形(fractal)學。以圓形這個傳統的幾何形狀為例。雖然從遠處觀看它是一個圓形,但是當我們從近處仔細察看它的一部分,看起來可能只像一條直線(可不要忘記,在日常生活中,球形的地球對我們來說也只像一個平面!);分形卻與別不同:不論是遠觀還是近看,一個分形看起來也是一樣。雪花、貝殼、海岸線的形狀,就是在大自然中找到的分形的好例子。

海岸線曲曲折折,呈分形形狀,也就是說當我們愈仔細察看,愈會發現更多的細節;因此當我們使用愈精細的間尺去量度海岸線的長度,就會發現要包括愈多的細節,所量度到的海岸線自然愈長了。

「無限」提示理論不足之處

科研中遇到的「無限」,也有可能在提醒我們需要修正現有的理論。19世紀的科學家在研究有溫度的物件發放出多少輻射的時候,就曾遇上這樣的問題。有溫度的物件能夠發出不同頻率的輻射;而熱力學告訴我們,每個頻率的輻射所攜帶的能量是一樣的。

然而,從一盞電燈發放出來的輻射,它的頻率好像並沒有什麼上限(也就是說好像並沒有什麼機制禁止這些高頻率輻射)。輻射的頻率無上限,而每個頻率的能量都一樣,不就是在說從物件放出的總能量是無限嗎?德國科學家普朗克(Max Planck)其後提出了解決這個疑難的方法,為後來的量子力學奠定了重要的基礎。■張文彥博士

作者簡介:香港大學土木及結構工程學士。短暫任職見習土木工程師後,決定追隨對科學的興趣,在加拿大多倫多大學取得理學士及哲學博士學位,修讀理論粒子物理。現任香港大學理學院講師,教授基礎科學及通識課程,不時參與科學普及與知識交流活動。

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