幾何的問題中，有時不同的線段和角度之間，也會有些加減乘除的運算，來描述不同數量的關係。若是線段都是連接着的，那倒是容易一點。相反，若是兩條線段之間看來沒什麽關係的，或者是距離很遠，加起來怎樣，比較難有什麽了解，更難去掌握它們與其他資料運算起來有什麽關係。
以下分享一道幾何問題，談談箇中連接線段的技巧。
問 題
△ABC中，P為∠A外角平分線上一點，求證：PB+PC＞AB+AC。（圖一）
答 案
不等式之中，出現的線段，都不是在同一直線上，加起來有多長，看着就不太清楚。有沒有辦法令到其中兩條線段連接在一起，又能幫助解不等式呢？這個是有方法的，就是構造全等三角形。
如圖二，在BA的延長線上找一點C'，使得AC=AC'，那樣若是考慮△CAP和△C'AP，由外角平分線的條件得知∠CAP=∠C'AP，又有AP為公共邊，就有△CAP?△C'AP（SAS）。
這樣構造，AB+AC就會等於AB+AC'，不等式右方就會連成一線。而且仔細看看，PC也會相等於PC'，那樣不等式就等同於PB+PC'＞AB+AC'，事實上就是關於△PBC'的三角不等式了。因此也就證明了結論。
回頭看看解題的過程，開始時PB，PC，AB和AC雖然都有些交點，但又不是在同一直線上，又不是全都在同一個三角形之中，看着不等式時，可能覺得無從入手。
事實上，這也是解這些幾何問題的難處，就是經常都是看着線段之間加減乘除，連起來成了一道等式或者不等式，但又不太知道怎樣開始。
答案中構造全等三角形的方法，可以把線段AC轉化為AB的延長線上的AC'，又能保留長度，令不等式右方的AB+AC除了是兩條線段的長度相加，還增添了幾何意義，那就是變成了線段BC'的長度。
這樣也碰巧遇上了PC'相等於PC，再配合三角不等式，就完成了證明。
面對這些幾何的等式或不等式的問題，其中一個思考方向，就是怎樣在構造圖形或加添輔助線之中，去令算式多了幾何意義。有時需要用到幾何變換的技巧，比如平移，旋轉和反射等等。
事實上，這題也可以把C'看成是C點相對於直線PA的反射點。在這個反射的觀點來看，比起用全等三角形的看法，更加明白為什麽會看得出C'A=CA和CP=C'P兩件事。
當然，那些幾何等式之類的，也不會因為多了些想法，就輕易解決得了的，經驗的累積都是一步一腳印的事，心得固然有，但練到解難時有相當能力，而不止是多了個模糊的方向，當中需要的努力是不少的。
在課程內，全等三角形和幾何變換，普遍都是在認識的階段，能理解和應用在較簡單的問題就可以了。
到了奧數階段，經常都要綜合應用，而且用什麽，怎樣用，都是沒有必然的做法，在難度來說，是在課程內的挑戰題以上的事，這些難度的題目在教科書裡未必會出現的。
也由於奧數的難度超越了課程內的數學，學起來就有了開拓眼界的效果，這也是一點益處。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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