提起三角形，除了談到角和邊之間的關係外，還會講到三角形的中心。例如重心，就是各頂點與對邊中點的連線的交點。這個是多少有點物理意義的，若是一塊三角形的鐵片，厚度是平均的，那麼把這塊鐵片的每隻角用繩吊起來時，繩的延長線都會穿過重心。另外提到的垂心、內心和外心，也各有意義。
這次分享的題目是關於三角形的垂心，原來垂足構成的三角形，其內心也跟原本的三角形有點關係。
問 題
在銳角△ABC中，三條高AD，BE和CF相交於H。證明：H為△DEF的內切圓圓心。
答 案
由∠HFB+∠HDB=90o+90o=180o，得知BDHF為圓內接四邊形。同理，得知DCEH亦是圓內接四邊形。
另外，∠HFB=∠HEC=90o，因此BCEF為圓內接四邊形。
由於同弧上的圓周角相等，所以∠HDF=∠HBF=∠HCE=∠HDE，即HD平分∠EDF。
因為對稱的關係，HE亦平分，而HF又平分∠EFD。
故此H為△DEF的內角平分線的交點，因此是內切圓圓心。
這道題目不只是一條數學題，而是有普遍性的，隨便一個銳角三角形，都有這樣的特性，說是定理也可以的。看着這一題的答案，會發現三角形裡，連結幾條高線，當中的圓內接四邊形是很多的，平常學生很易看漏了，這也算是一點點做幾何題的經驗。
關於三角形的中心，課程內也提過重心、垂心、內心和外心。這些中心的相關知識，雖然久不久也會有題目問起，但不少同學對此印象較淺，不時都會忘記。
問起來時，可能一看到字眼，就已經不太知道它說什麼，也就無法作出什麼有效的推論，這也是可惜的。
三角形是不是只有這些中心呢？其實還有其他，比如旁心，即任意兩角的外角平分線，與第三個角的內角平分線的交點（見圖二）。不難發現，這樣的旁心是有三個的，圖裡只顯示了其中一個而已。旁心就沒怎樣在課程內提及了，不過在奧數裡也會提到。
再進一步問，三角形是不是還有其他中心呢？原來是多到不得了。根據數學網站Wolfram MathWorld的資料，有一位數學家，名叫Clark Kimberling，把三角形的許多個中心編了號碼，有成千上萬個的。他還有一個網站，叫Encyclopedia of Triangle Centers，就是三角形中心的百科全書，當中收錄了三角形各種意義下的中心。不過當中有許多詞語，都不是課程內的數學內容，要有點毅力和恒心去不斷查證才會懂。這些網上資料，是筆者平常在網上看百科全書時閒來發現，又未至於逐一檢查過當中是否完全正確，讀者還是要謹慎地看。
課程內的數學，介紹了幾個三角形的中心，學點奧數，又會發現原來不只這樣，也算是有點新奇。不過再看看更大的數學世界，原來之前覺得已經有點新意的，只是其中一點皮毛而已。這也是求學路上的一點趣味。奧數豐富了課程內的想法，也令人增添了一點好奇心，去追求更廣闊的數學世界。這也是一點益處。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
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