近來看書，看到一道題目的情景挺常見，也就分享一下。
問 題
在直角三角形中，c是斜邊的長度，a和b是兩條直角邊的長度，而d是內切圓的直徑。求證：a + b = c + d。
答 案
如圖一，設內切圓半徑為r，則d = 2r。
由直角三角形和圓切線的性質得知，EFCH為正方形，得CF = CH = r。AG = AF = b - r，BG = BH = a - r。
故此c = (a - r) + (b - r)，得a + b = c + 2r ，即a + b = c + d。
這個結果看通了是挺簡單的，不過簡單之餘，情景也很常見，就是講直角三角形的邊和內切圓直徑而已。答案寫出來是簡短的，不過筆者想着a、b、c和d，也想到了其他關係，比如面積的關係。如果考慮整個三角形的面積，一方面是[ab] [2]，另一方面，視三邊為底，半徑為高，則面積為[ar] [2]+[br] [2]+[cr] [2]，因此有[ar] [2]+[br] [2]+[cr] [2]=[ab] [2]，化簡為(a + b + c) r = ab，看着也是有點新奇和相當簡潔的。
只是後來想起，面積的單位是二次方的，比如平方厘米和平方米之類，而題目的算式，那些a和b之類的，單位都只是一次方的，沒有見到兩個長度相乘的項，因此就沿着長度的方向想，而放下了面積的想法。後來留意到圓切線的性質，不一會就做到了。
解題的時候，學多了知識，能看到的結果也多了，繞的彎也可能多點，未必一下子就想到題目要求的結果。教學時一下子就寫得出來，其實只是因為教學前要備課，也就是教之前知道答案而已，而不是即場做出來。
奧數的題目，即使解題一段時間之後，最終做到，也不見得可以是一下子就看得通一個極快的做法。課程內的數學題，在經驗足夠豐富之後，有部分可以很快看得出做法，是因為變化比較少，而且通常有些不太複雜的解法。
有時學生解題，把題目思考了很久，看着老師一下子就解了出來，覺得老師厲害得很，好像特別聰明。老實說，我自己解奧數題目，固然有相當的能力，但也不見得每一題都可以即場就很快解得到。當然，要教書的時候，備課總是會做好，也會思考怎樣解得簡短易明一點，於是講解起來，學生聽着明白，但可能會有個誤會，以為是老師真是一看就知答案那樣。
這點美麗的誤會，當然也會令我看來英明一點，但事實上解題是離不開踏實的探索，也有苦惱和困惑的時候，這才是解難的實情。不過這當然是個人經驗，其他人怎樣就不知道了。
分享一點解難的苦惱，繞過的彎，嘗試過的錯誤，在我看來是好的，那樣的分享是會多了一分誠實。求學想踏實一點，對自己誠實，少一點自欺欺人，是一件好事來。■張志基
■香港數學奧林匹克學校
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。