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【奧數揭秘】作一個三角形

2020-11-18

這次分享一道初中競賽的幾何題,然後談談學生在解題當中的問題。

問 題:△ABC中,有∠ABC = 60o,∠ACB = 80o且AB = 18,D是邊BC上的點使得AD平分∠BAC 。求△ABD面積的兩倍與△ADC的面積之和。

答 案:由△BAC的內角和,得知∠BAC = 180o - 80o - 60o = 40o。

∠BAD = [1][2]  ∠BAC = 20o。

由△BAD的外角,得知∠ADC = 60o + 20o = 80o。△ADC的底角相等,得知它為等腰三角形。

構造全等於△ABD的△AB'C,則由∠B' = ∠B = 60o,得知△ABB'是一個等邊三角形,這三角形的面積,正是題目要求的△ABD面積的兩倍與△ADC面積之和,就是 [1][2]  × 18 × 18 × sin60o = 81[3] 。

解題的過程之中,關鍵在於發現△ADC等腰,然後懂得構造△AB'C,之後注意到△ABB'為等邊三角形。這當中的發現,都是由探索角度大小開始的。剛好題目的條件,都足夠令人計算出△ABC內六隻角的大小,看到角度之後,也必然會留意到等腰三角形的資料。

比較特別的是△AB'C構造的情況,因為解題時只有原本的△ABC,另外作一個三角形出來,未必是會想得到。平常作多一個三角形出來,也未必可以組成一個容易計算的大三角形。這堶閬n構造完之後,拼成了等邊三角形,只是個很特殊的情況。

這堣@下子把構造的方法和發現的方向披露出來,好像挺順利的,不過做起來時就可能會繞了其他彎,比如看到了角度和面積就會聯想起三角函數。有時學生也會嘗試用三角函數表示題目所要求的面積,然後再化簡三角函數。不過當中有些sin20o之類的,並非平常的特殊角,所以化簡起來沒那麼順利。

這些非特殊角的三角函數,若果沒去用計算機計出來,也要求準確值的,通常都比較難計算,即使懂多了高中關於三角函數的公式,還是很困難,有時化簡起來已經是一道難題,例如計算[1][sin20o]  + [1][sin40o]  + [1][sin100o] ,這個看來挺難的,但化簡時輾轉會化出2[3] ,有興趣的讀者可以試試。

解題過程中,繞的彎不只是數學上的,比如幾個人一起解題,遇荈陽Q探索的時候,學生還集中一點,一旦到了遇上障礙,就容易漸漸分心了。開始會想跟其他人討論,但討論的時候,話題離數學愈來愈遠,這也是很常見的現象。數學讀得較好的學生,往往思考比較敏捷,於是聯想起其他事情,也很容易愈說愈遠。若是知道遇上障礙時自己容易分心,就要提醒自己要定下來,減少這樣的情況。

上課時,老師仍可以嘗試把話題帶回數學堙A這樣能令學生集中多一會,問題有時也就解決了。相反,只有學生討論的時候,未必有人能注意到專注力已分散的問題,或許各人也在閒聊中忘了解題的方向。中小學生有時就是會這樣,所以要老師去引導一下。 ■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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