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【奧數揭秘】兩根的和與積

2020-12-03

這次分享一道解方程組的題目,當中涉及一元二次方程的和與積。課內大概是高中水平,奧數堳h是初中程度。

簡單回顧一下關於兩根的和與積的知識。對於一元二次方程ax2 + bx + c = 0,兩根之和為-[b][a] ,兩根之積為[c][a] 。倒過來說,例如有兩數之和為4,兩數之積為3,則亦有一元二次方程x2 - 4x + 3 = 0,可解得此兩數。

解題的過程中,重點是發現到未知數除了是x和y本身以外,還可以把未知數看成是x + y和xy兩個。看未知數的角度改變了,題目也就容易解了。方向主要是把方程組消去x + y,然後只剩下關於xy的一元二次方程。之後找到兩個根,然後對應的x + y也找出來,就再次聯立起來,或者用二次方程的兩根之和與積,找到相應的x和y。也略提一下,{x,y} = {1,5}就是(x,y) = (1,5)或(5,1),大括號的寫法是無分次序的意思。

問題問起來,若是講到解方程,學生解到徹底就會發現有四組實數解。要是問題改一改,單是問起有多少組實數解,然後題目堛獐あr又改一改,那樣問題看來易了,但反而比較易錯。比如把第一式右方改成是7,第二式右方改成是12,那樣計算起來就會得到xy = 3或4,對應的x + y分別為4或3。若是看到這堙A就覺得解下去會有四組實數解,那就錯了。後一個情況,會得到u2 - 3u + 4 = 0,計算判別式,會計出△ = (-3)2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0。只有xy = 3及x + y = 4的情況,能解出{x,y} = {1,3}。

好像這題改一改數字,題目的結果就多了變化的,在奧數埵酗ㄓ痋C有時看茪@道題目,初看時,想到了關鍵步驟,以為解完了,覺得改了數字,解法也差不多,但一旦解下去,久不久又發現看漏了一些細微的曲折。若果沒有踏踏實實寫下來,看清楚,是難以見得仔細的。

數學堛熒妝嚏A不時用蚚比的想法,當中想法相似的情況很多,但仔細推論下來,也會有些細微的枝節,可以頗有分別。比如解z3 = 1,在實數的範圍內,根只有z = 1,但在複數範圍內,就會多了另外兩個根。許多實數的性質,到了複數的情況,會多了許多曲折,這個在課程內難以涉獵太多,奧數堥麆炊今{度,會談多一點,若要知得再多一點,就要看些大學程度的數學書了。

平常學習或者思考,用蚚比來說理的時候很多,但推論出來時,若果仔細分析起來,發覺不少部分難以互通,若果缺乏警覺性,穿鑿附會多了,看法有失誤的時候也多了。■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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