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【奧數揭秘】彈球遊戲中的組合數學

2017-02-08

久不久走過商場中的文具店,見到一種小型的舊式遊戲機,拉下手掣然後放手,手掣上邊的球就會向上彈出,之後球會經過中間許多障礙物,一步一步滾入下方不同的兜子裡,若是全部6個球都滾入同一個兜子裡,就會有獎。

這裡有個問題,假設6個球都當作是相同的,而下方的兜子有4個,那炯怮嶆U個球的分佈方式,有多少種?舉例說,例如由左方數起,分別為1個、2個、3個和0個,那炭N不妨記為(1,2,3,0),問題就是,這樣4個數加起來是6的有序四元組有多少個?

把這個問題換個方式來說,就是設四元組為(a1,a2,a3,a4),已知a1+a2+a3+a4=6,而ai(i=1,2,3,4)皆是非負整數,那泵馱ㄘw方程有多少組解?若是直接地列舉,答案繁多,不太好做。

讓我們先看看以下一道類似的問題的做法,再帶出這題的解說。

問 題

已知b1+b2+b3+b4=10,其中bi(i=1,2,3,4)為正整數,那炯o道方程有多少組解?

答 案

考慮10個球沿直線由左至右排成一行,並用3張卡紙把它們分開,卡紙放在兩個相鄰的球之間,一個空隙最多只能放一張卡紙(下圖)。

那樣由左邊數起,b1就是最左邊的球的數目,然後依次為b2、b3和b4。這樣解的數目,其實就是3張卡紙放在9個空隙的數目。第一張卡紙有9個選擇,第二張有8個選擇,第三張有7個選擇,而3張卡紙沒有分次序,因此共有[9×8×7][1×2×3][=84] 個選擇。

當中9個空隙放3張卡,不分次序,有慣用的數學符號 表示,普遍就是n件事物當中取r個,不分次序的時候,組合的數量就可以用以下等式表示:[Cr][n][=][n(n-1)(n-2)...(n-r+1)][1×2×3...×r] 。

課程內大概中四左右會學到,若是奧數就最好小學五六年級就懂。篇幅所限,關於 的詳細內容和變化,不是這篇的主要內容,遲些再談。

回到開始時提出的問題,即設四元組為(a1,a2,a3,a4),已知a1+a2+a3+a4=6,而ai(i=1,2,3,4)皆是非負整數,那泵馱ㄘw方程有多少組解?

這個只要設bi=ai+1,則方程由a1+a2+a3+a4=6變為b1+b2+b3+b4=10,而其中bi(i=1,2,3,4)為正整數,即是剛剛解決的問題,已知有84組解,因此原來關於ai的問題同樣有84組解。

結 語

步驟多鍛煉慎思

由原先一個舊式小遊戲,引出來的方程求解問題,當中用到了組合數學的技巧。組合數學說到最基本,其實就是數一二三四,數多少個,進一步,用加法乘法。聽來簡單的,不過在奧數中的問題複雜起來,單是用加法和乘法,就已經很容易錯。

組合數學的難處,並不在於看來計不到,而是多數看來計得到,但卻經常算錯答案;有時候,甚至看茧狙蚺]不知道算式是怎樣出來的。再混合許多組合數學的符號,比如[Cr][n]或[Pr][n]之類,容易使人望而生畏,因此這個課題可說是易學難精。

學習組合數學的用處,其一就在於如何有系統地思考,從而鍛煉出慎思的習慣。許多學生什洧B驟也沒有,或者隨便寫點算草,就寫答案出來,多數都是學不好這個課題的。

可能淺易的題目都做到了,但深一點的話,若果不去好好表達清楚自己的解法,很容易在學習途中遇上瓶頸,久久難以再進一步。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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