久不久走過商場中的文具店，見到一種小型的舊式遊戲機，拉下手掣然後放手，手掣上邊的球就會向上彈出，之後球會經過中間許多障礙物，一步一步滾入下方不同的兜子裡，若是全部6個球都滾入同一個兜子裡，就會有獎。
這裡有個問題，假設6個球都當作是相同的，而下方的兜子有4個，那麽最後各個球的分佈方式，有多少種？舉例說，例如由左方數起，分別為1個、2個、3個和0個，那麽就不妨記為(1,2,3,0)，問題就是，這樣4個數加起來是6的有序四元組有多少個？
把這個問題換個方式來說，就是設四元組為(a1,a2,a3,a4)，已知a1+a2+a3+a4=6，而ai(i=1,2,3,4)皆是非負整數，那麽此不定方程有多少組解？若是直接地列舉，答案繁多，不太好做。
讓我們先看看以下一道類似的問題的做法，再帶出這題的解說。
問 題
已知b1+b2+b3+b4=10，其中bi(i=1,2,3,4)為正整數，那麽這道方程有多少組解？
答 案
考慮10個球沿直線由左至右排成一行，並用3張卡紙把它們分開，卡紙放在兩個相鄰的球之間，一個空隙最多只能放一張卡紙（下圖）。
那樣由左邊數起，b1就是最左邊的球的數目，然後依次為b2、b3和b4。這樣解的數目，其實就是3張卡紙放在9個空隙的數目。第一張卡紙有9個選擇，第二張有8個選擇，第三張有7個選擇，而3張卡紙沒有分次序，因此共有[9×8×7][1×2×3][=84] 個選擇。
當中9個空隙放3張卡，不分次序，有慣用的數學符號 表示，普遍就是n件事物當中取r個，不分次序的時候，組合的數量就可以用以下等式表示：[Cr][n][=][n(n-1)(n-2)...(n-r+1)][1×2×3...×r] 。
課程內大概中四左右會學到，若是奧數就最好小學五六年級就懂。篇幅所限，關於 的詳細內容和變化，不是這篇的主要內容，遲些再談。
回到開始時提出的問題，即設四元組為(a1,a2,a3,a4)，已知a1+a2+a3+a4=6，而ai(i=1,2,3,4)皆是非負整數，那麽此不定方程有多少組解？
這個只要設bi=ai+1，則方程由a1+a2+a3+a4=6變為b1+b2+b3+b4=10，而其中bi(i=1,2,3,4)為正整數，即是剛剛解決的問題，已知有84組解，因此原來關於ai的問題同樣有84組解。
結 語
步驟多鍛煉慎思
由原先一個舊式小遊戲，引出來的方程求解問題，當中用到了組合數學的技巧。組合數學說到最基本，其實就是數一二三四，數多少個，進一步，用加法乘法。聽來簡單的，不過在奧數中的問題複雜起來，單是用加法和乘法，就已經很容易錯。
組合數學的難處，並不在於看來計不到，而是多數看來計得到，但卻經常算錯答案；有時候，甚至看着答案也不知道算式是怎樣出來的。再混合許多組合數學的符號，比如[Cr][n]或[Pr][n]之類，容易使人望而生畏，因此這個課題可說是易學難精。
學習組合數學的用處，其一就在於如何有系統地思考，從而鍛煉出慎思的習慣。許多學生什麽步驟也沒有，或者隨便寫點算草，就寫答案出來，多數都是學不好這個課題的。
可能淺易的題目都做到了，但深一點的話，若果不去好好表達清楚自己的解法，很容易在學習途中遇上瓶頸，久久難以再進一步。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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