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【奧數揭秘】抽獎學排列與組合

2017-05-17

有時在宴會上,也有些抽獎的時候,抽獎的方式可以有差別,比如每件獎品都不同,那洸漭X來次序,就決定了誰拿了什狩;若每件獎品相同,又是另一回事;抽了出來,然後抽出來的號碼能否放回去,又是另一種情況。

總結起來,就是分次序與不分次序,能放回去與不能放回去,共4種情況。4種情況得出來的排列與組合的總數,是有分別的。

為了討論方便,先決定號碼有10個,獎品有3個。普遍有是n個號碼中取r個數。

先討論分次序與能放回去的情況,那樣第一個獎有10個選擇,第二個和第三個分別都有10個選擇,共個103選擇,普遍是nr。

然後是分次序與不能放回去的情況,那樣第一個獎有10個選擇,第二個有9個選擇,第三個有8個選擇,因此共有10×9×8=720種選擇,普遍是n(n-1)(n-2)...(n-r+1),記為Pnr。

之後是不分次序又不能放回去的情況,那其實就是考慮剛剛談及的分次序又不能放回去的情況,然後除以3個獎品的排列總數,即[10×9×8] [1×2×3][=120],普遍來說有[n(n-1)(n-2)...(n-r+1)] [1×2×3×...×r],記為Cnr。

最後就是不分次序又能放回去的情況了,這個在課程內較少提及。

問 題 一

10個數之中,任意取出3個,而且可以重複取同一個,那樣有多少個不同的組合?

答 案

考慮右圖,把1至10用9條「棒子」分成10列,另外有3個圓點代表取出的數字。那2的那一列有兩個圓點,就代表2被取出兩次,如此類推。

這樣,題目要求的數,就是把這些圓點和棒子排成一列的組合數。當中棒子和圓點共有3+9=12個,取其中3個為圓點,則組合數共有[C123=][12×11×10] [1×2×3][=220]個。

普遍來說,棒子比要選的n個數少一個,即(n-1)支,圓點為r個,因此組合數為Cn+r-1r ,又可記為Hnr。

這樣在抽獎中4個情況都全面地談及了,列表如右:

可放回去 不可放回去

分次序 nr Pnr

不分次序 Hnr=Cn+r-1r Cnr

清晰表達模型助計算

剛才講到Hnr的時候,用到了圓點與棒子的模型來理解,然後一下子就有答案了,這個是有點神奇的。事實上,組合數學中的計算方法,有時就要依靠一些好的模型。不同人取的模型不同,計出來的複雜程度也大有差別。

而組合數學有時也是難以理解別人的計法的,因為別人一道算式,背後的模型可能跟自己設想的大有差別。因此別人寫一道算式,當中有些Pnr或Cnr之類的符號,即使頗有經驗的人,要準確了解背後的思路,還得要一番功夫。

由於模型對計法大有作用,因此把自己的模型表達得清晰是重要的,一方面是與人溝通的需要,另一方面是自己作記錄,以求改良。不同的模型累積得多了,面對組合問題也多點想法,嘗試的方向多了,成功的機會也大一點。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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