談起平常寫出來的不同數字，若是表達式夠簡單，比較大小都是容易的，例如32+3和42+4，很明顯後者是比較大。
不過，仔細想來，也有些表達式中，比較難看出大小的，例如以下的問題。以下題解中涉及函數概念，若是未知道什麽是函數，暫時可略過f(x)的符號，亦可明白箇中的理據。
問 題
考慮[13- 12] ，[12- 11] 和[11- 10] ，以上3個數之中，哪個最大？
答 案
3個數由左至右，都是兩個連續數的根式之差，好像差不多大小，不太明顯的，但三者有共通形式，於是可以參考通項。
記函數f(x)= [x+1- x] ，可得如下結果：
f(x)= [x+1- x]
= [x+1- x] [( )．] [x+1+ x] [x+1+ x]
= [x+1+ x] [1]
若分母越大，最後的算式的數值會越小。因此[13- 12] ＜[12- 11] ＜[11- 10] 。
平常數字大小比較 可引入函數思路
以上用到了函數的概念，函數簡言之就是隨着另一數量而改變的量，是兩組數量的對應關係，比如f(x)= [x+1- x] 的算式之中，f(x)的大小隨着x而改變。
函數較嚴格的含意，要求一個x值只能對應另一個f(x)的值。比如x2+y2=1之中，y就不是x的函數，因為x=0時，y=1或-1，y的值不是唯一。函數還可以有更普遍的意思，但在這篇文章中，了解到函數是數量對應的關係就足夠了。
回顧剛才的問題，這函數的概念在當中起了什麽作用呢？第一是它表示了不同數字的共同形式，第二是由它的表達式之中，知道了該種形式的數字，普遍的大小是怎樣的變化。在最後的算式中，得知該函數在非負實數的x之下，一直減少，如圖一。由此可推論......＜[15- 14] ＜[14- 13] ＜[13- 12] ，或者根式裡是小數的等等。
在數字大小比較之中，用函數表示通項，在圖像中找尋大小的線索，是常見的思路，以上的問題只是其中一個簡單例子。
事實上，若是把問題中的f(x)= [x+1- x] 看得仔細一點，把算式中的1改成正實數k，題解中的變形仍然成立，有如下結果：
g(x)= [x+k- x]
= [x+k- x] [( )．] [x+k+ x] [x+k+ x]
= [x+k+ x] [k]
若x越大，g(x)的數值會越小，跟f(x)的情況一樣，而結果則更普遍。比如考慮k=0.1，就有[13.9- 13.8] ＜[13.8- 13.7] ＜[13.7- 13.6] ＜......。這又比之前用f(x)考慮的結果更細緻一點。
由以上的討論，不難發現，當平常的數字大小比較之中，引入函數的思路，考慮函數的增大和減小的情況，有機會可以推進已知結果，從而對相似類型的數字，有更深一步的了解。
以上還只是用了根式的符號而已，若是用上了三角函數和指數等等，又會有很多平常直觀上難以比較的數字，可以有更深入的探究。
由幾個數字的比較，引入函數，其實還可以把函數與函數之間互相比較，這又是再深入的課題了，日後有空再談。 ■張志基
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