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【奧數揭秘】函數與數字大小比較

2017-06-07

談起平常寫出來的不同數字,若是表達式夠簡單,比較大小都是容易的,例如32+3和42+4,很明顯後者是比較大。

不過,仔細想來,也有些表達式中,比較難看出大小的,例如以下的問題。以下題解中涉及函數概念,若是未知道什洵O函數,暫時可略過f(x)的符號,亦可明白箇中的理據。

問 題

考慮[13- 12]  ,[12- 11]  和[11- 10]  ,以上3個數之中,哪個最大?

答 案

3個數由左至右,都是兩個連續數的根式之差,好像差不多大小,不太明顯的,但三者有共通形式,於是可以參考通項。

記函數f(x)= [x+1- x] ,可得如下結果:

f(x)= [x+1- x] 

= [x+1- x] [( ).] [x+1+ x]  [x+1+ x]  

= [x+1+ x]  [1]

若分母越大,最後的算式的數值會越小。因此[13- 12]  <[12- 11]  <[11- 10]  。

平常數字大小比較 可引入函數思路

以上用到了函數的概念,函數簡言之就是隨茈t一數量而改變的量,是兩組數量的對應關係,比如f(x)= [x+1- x] 的算式之中,f(x)的大小隨茥而改變。

函數較嚴格的含意,要求一個x值只能對應另一個f(x)的值。比如x2+y2=1之中,y就不是x的函數,因為x=0時,y=1或-1,y的值不是唯一。函數還可以有更普遍的意思,但在這篇文章中,了解到函數是數量對應的關係就足夠了。

回顧剛才的問題,這函數的概念在當中起了什洹@用呢?第一是它表示了不同數字的共同形式,第二是由它的表達式之中,知道了該種形式的數字,普遍的大小是怎樣的變化。在最後的算式中,得知該函數在非負實數的x之下,一直減少,如圖一。由此可推論......<[15- 14]  <[14- 13]  <[13- 12]  ,或者根式裡是小數的等等。

在數字大小比較之中,用函數表示通項,在圖像中找尋大小的線索,是常見的思路,以上的問題只是其中一個簡單例子。

事實上,若是把問題中的f(x)= [x+1- x] 看得仔細一點,把算式中的1改成正實數k,題解中的變形仍然成立,有如下結果:

g(x)= [x+k- x] 

= [x+k- x] [( ).] [x+k+ x]   [x+k+ x] 

= [x+k+ x]  [k]

若x越大,g(x)的數值會越小,跟f(x)的情況一樣,而結果則更普遍。比如考慮k=0.1,就有[13.9- 13.8]  <[13.8- 13.7]  <[13.7- 13.6]  <......。這又比之前用f(x)考慮的結果更細緻一點。

由以上的討論,不難發現,當平常的數字大小比較之中,引入函數的思路,考慮函數的增大和減小的情況,有機會可以推進已知結果,從而對相似類型的數字,有更深一步的了解。

以上還只是用了根式的符號而已,若是用上了三角函數和指數等等,又會有很多平常直觀上難以比較的數字,可以有更深入的探究。

由幾個數字的比較,引入函數,其實還可以把函數與函數之間互相比較,這又是再深入的課題了,日後有空再談。 ■張志基

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