奧數班的學生有不少都是挺聰明的，表現好的，有時候老師也會送一點文具給學生。談起送文具，比如送擦膠，一買就會買很多枚，那自是會便宜一點的。買的時候，把許多枚一樣大小的擦膠放入盒子裡，這裡也有個數學問題。
問 題
一個長方體形狀的盒子，尺寸為5cm×5cm×8cm，裡面最多可以放多少枚尺寸為2cm×2cm×3cm的擦膠？
錯 解
這問題有一種很易錯的解法，以下先介紹錯解，讀者也可以試試能否看出答案錯在哪裡，然後再介紹正確的解法。
平常的看法，多數就是一枚一枚地並排放入去就是了，能放多少就多少。只是仔細點看，擦膠怎樣放才好，比如擦膠3cm那一邊，對着盒子5cm的那邊好，還是對着8cm的那邊好？
再想想，既然要是最多的，那麽擦膠的尺寸中，若是有些數字能整除盒子尺寸中的數字，那麽至少有一邊就是能填滿了，比如擦膠一邊是2cm，盒子一邊是8cm，這一邊就能放8÷2=4枚擦膠。
若是沿着這樣的思路，可能會問，那麽是不是之後再看看5÷2=2...1，得知5cm那邊有2枚，然後5÷3=1...2，得知另外5cm那邊有1枚，那樣全盒就能放4×2×1=8枚。這樣的想法是常見的，但在這情況下卻是錯的。
正 解
先用體積估算最多能有多少枚。[5×5×8][2×2×3][=][200
12][200
12][=16...8] ，由體積看，最多只可能有16枚，但這還未可以確認16是否答案，因為未知道是否真的存在可以放入16枚的方法。
不過原來真的有方法可以放入16枚的，方法如下：
考慮5cm×5cm的一面，然後把擦膠3cm×2cm的一面填上，如圖一。
這樣拼合的方法，5cm×5cm的那邊就只剩一小格，這一面可以有4枚。
另外，盒子另一邊為8cm，擦膠餘下一邊為2cm，因此這樣的拼法可以有8÷2=4層。共可放擦膠4×4=16枚。
以小見大 貨櫃裝貨亦可應用
要想到這個正解不太容易，因為平常放擦膠入盒子，不外乎都是橫放或是豎直放，也沒怎麽想過有什麽特別的放置方式。只是問起盒子最多可以放多少枚擦膠，講到最多的問題，又不能說隨便橫放豎放就可以確認答案了，這很易錯。
小學階段，講起體積，有時也會遇上這些問題，但數字多數都是特別設計過的，多數用點簡單的想法就做得到了。
這個放擦膠入盒子的問題，其實推廣得遠一點，就是把小長方體放入大長方體最多可以放多少個的問題。比如把行李箱放入大貨櫃，也是這樣的問題。不難留意到的是，那些尺寸的長闊高不一樣，那些拼合的方式也可大不相同，若是小長方體的尺寸之間彼此有差異，自是更難了。想像一下運貨物的情景，要是大貨櫃能放下多幾個行李箱，那樣大概可以用少一點貨櫃的，也就省點錢，這問題挺實用的，又普遍得很。
這個實用的問題，回頭看看怎樣提出來，其根本就只是把擦膠放入盒子那回事，相關的問題在小學的練習上也見過不少，只是數字改了一些。
若是平日多點留意課內的應用題，習慣改變了數字時，解法是否差不多，那久不久就會發現到問題可能比想像中複雜多了，又會看到更多可以探索的事情。習慣養成了，長遠得着就大了。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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