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【奧數揭秘】由解方程看「習慣」

2017-09-06

由小學開始,學生們都已經接觸過一些簡單的方程,比如3元一個橙,12元可買橙多少個,學生也會設橙的數量為x個,然後列出算式:

3x=12

x=4

得知可買橙4個。

這個簡單得好像不用方程心算也得了。不過若果嘗試看得普遍一點,比如不是3元一個橙,而是m元一個橙,那洎Y是要求將橙的數量用m表示,那又怎樣了?這看來也並不複雜的,就是將之前的改一改,依舊設橙的數量為x個,有如下算式:

mx=12

x=[12] [m]

得知可買橙[12] [m]個。

看來還真順利的,只是這樣就覺得完成了,那就有漏洞了。比如m=0時,[12] [m]的分母就是0,就沒定義了。上列的算式裡,由第一行到第二行,把m移項到等號右方時,已經假設了m≠0。那洎Y是m=0時怎樣了?就是:

0x=12

這是無解的。

因此正式的答案應是:

mx=12

若m≠0,x=[12] [m]。

若m=0,無解。

這才是全面而沒漏洞的解法。

了解到這些之後,可以試試以下的問題,看看有沒有遺漏了什活C

問 題

解關於x的方程,ax=b,其中a和b為常數。

答 案

若a≠0,x=[b] [a]。

若a=0及b=0,x可為任何實數。

若a=0及b≠0,無解。

初中起訓練意識 長遠思考更準

剛剛計完了,這3個情況有沒有算漏了什洸O?這問題表面看來還真夠簡單的,但真個考慮用除法移項起來,已經要多考慮分母是否為0的情況,又要考慮0的情況下,等號右方又是否為0的情況,一不小心就很易看漏了。

在初中階段,課程內的數學,教公式求主項的時候,學生懂得移項已經夠好了,很難再要求大部分學生,都懂得去按茪壎嶼O否為0的情況再分開討論。

然而,在奧數之中,初中就已經要懂得把代數運算的過程中,那些分母為0的情況分開討論。這樣看來多少是有點繁瑣的,但為了訓練嚴格思想,是必要的。事實上這些分類已經不算是奧數中較複雜的一種,若是說複雜的,那些組合數學複雜多了。

這種訓練之下,由初中起,學過奧數的學生,對代數式的運算也會多留意到分母為0的情況,或者普遍來說,會留意到代數式是否有定義的問題。每一步推論都有這樣的意識,已經比許多只會按茞葴D不斷運算的學生強了。

單單是留意一下代數式是否對於未知數為不同數值時有定義,看來只是一個小習慣,沒什洶j不了。不過思考上習慣了帶虓N識去推論每一步,思考的態度上就變了沉穩了一點點,少了一點點輕率,長遠來說思考就準確一點。

功利點說,就是考起試來比較不容易因為不小心而失了幾分那樣。事實上,帶虓N識去推理每一步,要練出來也不易,學生聽過這些道理,也要自己練了一些日子,才真個會變得思想嚴格一點,不是聽過就懂的。

嚴格的思想,是依靠養成許多個良好的小習慣而來的,並不能一蹴而就。平日許多不小心,不時都是因為有壞習慣在背後,仔細看清了這些,可以學會很多事。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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