有時候在乘車去教奧數的時候，看到建築物上一格格的窗子，也會想起了中學時初學奧數遇上的一道題目，那是一道關於數長方形的問題。
先講講一個簡單的版本，然後才說原本的題目。
看看圖一，那裡究竟有多少個長方形呢？仔細看看，橫向來說，1格長的有4個，2格長的有3個，3格長的有2個，4格長的有1個。那麽長方形共有4+3+2+1=10個。
由上邊的結果來看，若是原本長方形有6格長（圖二），那麽1格長的有6個，2格長的有5個，如此類推，得知長方形共有6+5+4+3+2+1=21個。
普遍來說，若是n格長的大長方形，就有長方形n=(n-1)+(n-2)+...+2+1=[n(n+1)] [2]個。
以上的圖二是闊度為1格，長度為6格的情況。若是如圖三那樣，闊度為2格的，首先要考慮上下兩層各有21個以外，還要考慮闊度為2格的長方形。闊度為2格的情況，跟闊度為1格時類似，就是長度為1格的有6個，2格長的有5個，如此類推，都是有21個。因此共有(2+1)×(6+5+4+3+2+1)=3×21=63個。
問 題
在圖四中，共有長方形多少個？
解 一
若是考慮闊度為1格，長度為6格的長方形數目，就是圖二的情況，得知是21個。
在圖四中，闊度為1格的情況有4個，每個情況都有長方形21個。對於闊度為2格的情況有3個，正如圖三的討論，各有長方形21個。另外闊度為3格的情況有2個，闊度為4格的情況有1個，各自都有長方形21個。因此共有長方形(4+3+2+1)×(6+5+4+3+2+1)=10×21=210個。
原來在這個6×4的方格上，就有210個長方形。上邊的想法，一步一步地看來，也算不難理解的，但稍嫌有點長。若是數學基礎比較好的話，對於圖四的問題，又可以有另一種方法看。
解 二
每個長方形都是由一對橫向的平行線和一對直向的平行線組成。橫向的線段有5條，選當中2條，共有[5×4] [2]=10種選擇。直向的線段有7條，選當中2條，共有[7×6] [2]=21種選擇，共有長方形10×21=210個。
由解二的想法，還可以知道普遍來說，m×n的大長方形上有[m(m+1)] [2][n(n+1)] [2][mn(m+1)(n+1)] [2][×][=]個長方形。
巧思解複雜題目 「捷徑」顯魅力
解一的想法比較直觀，小學生也容易明白。解二的方法巧妙多了，也很快，只是要數學基礎比較好的學生才易明白。兩種解法各有優劣。
就問題難度來說，這道問題多數都放在小學教，因為小學生足夠明白得了，算是容易的。不過若是第一次接觸這個問題，想得到解一或解二的想法，都是有點困難的。
在學習過程中明白到規律之後，發現到原來有方法一下子就算出來，成功感挺大的，比起初學數圖形時一個一個慢慢數強得多了。
奧數問題有時候魅力就在這些地方，就是在表面複雜的情景上，只需要有點巧思，就可以極快地看到答案。
當然對於解難來說，普遍未必存在捷徑，但在一些特殊情況看到了捷徑，也是令人很興奮的。數學能力其中一個基礎就是興趣，而興趣有時就是靠這些一點一滴的興奮和成功感累積出來的。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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