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【奧數揭秘】數數長方形

2017-10-11

有時候在乘車去教奧數的時候,看到建築物上一格格的窗子,也會想起了中學時初學奧數遇上的一道題目,那是一道關於數長方形的問題。

先講講一個簡單的版本,然後才說原本的題目。

看看圖一,那裡究竟有多少個長方形呢?仔細看看,橫向來說,1格長的有4個,2格長的有3個,3格長的有2個,4格長的有1個。那洩齯閫峖@有4+3+2+1=10個。

由上邊的結果來看,若是原本長方形有6格長(圖二),那1格長的有6個,2格長的有5個,如此類推,得知長方形共有6+5+4+3+2+1=21個。

普遍來說,若是n格長的大長方形,就有長方形n=(n-1)+(n-2)+...+2+1=[n(n+1)] [2]個。

以上的圖二是闊度為1格,長度為6格的情況。若是如圖三那樣,闊度為2格的,首先要考慮上下兩層各有21個以外,還要考慮闊度為2格的長方形。闊度為2格的情況,跟闊度為1格時類似,就是長度為1格的有6個,2格長的有5個,如此類推,都是有21個。因此共有(2+1)×(6+5+4+3+2+1)=3×21=63個。

問 題

在圖四中,共有長方形多少個?

解 一

若是考慮闊度為1格,長度為6格的長方形數目,就是圖二的情況,得知是21個。

在圖四中,闊度為1格的情況有4個,每個情況都有長方形21個。對於闊度為2格的情況有3個,正如圖三的討論,各有長方形21個。另外闊度為3格的情況有2個,闊度為4格的情況有1個,各自都有長方形21個。因此共有長方形(4+3+2+1)×(6+5+4+3+2+1)=10×21=210個。

原來在這個6×4的方格上,就有210個長方形。上邊的想法,一步一步地看來,也算不難理解的,但稍嫌有點長。若是數學基礎比較好的話,對於圖四的問題,又可以有另一種方法看。

解 二

每個長方形都是由一對橫向的平行線和一對直向的平行線組成。橫向的線段有5條,選當中2條,共有[5×4] [2]=10種選擇。直向的線段有7條,選當中2條,共有[7×6] [2]=21種選擇,共有長方形10×21=210個。

由解二的想法,還可以知道普遍來說,m×n的大長方形上有[m(m+1)] [2][n(n+1)] [2][mn(m+1)(n+1)] [2][×][=]個長方形。

巧思解複雜題目 「捷徑」顯魅力

解一的想法比較直觀,小學生也容易明白。解二的方法巧妙多了,也很快,只是要數學基礎比較好的學生才易明白。兩種解法各有優劣。

就問題難度來說,這道問題多數都放在小學教,因為小學生足夠明白得了,算是容易的。不過若是第一次接觸這個問題,想得到解一或解二的想法,都是有點困難的。

在學習過程中明白到規律之後,發現到原來有方法一下子就算出來,成功感挺大的,比起初學數圖形時一個一個慢慢數強得多了。

奧數問題有時候魅力就在這些地方,就是在表面複雜的情景上,只需要有點巧思,就可以極快地看到答案。

當然對於解難來說,普遍未必存在捷徑,但在一些特殊情況看到了捷徑,也是令人很興奮的。數學能力其中一個基礎就是興趣,而興趣有時就是靠這些一點一滴的興奮和成功感累積出來的。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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