平日走在街上，不時都會看到許多高高懸掛着的廣告牌，有些挺漂亮的，也會想仔細看清楚一點。距離遠的時候，固然看不清，太近了，比如在廣告牌下方，也會看不清的，因此能不能看清楚，也不只是距離遠近的問題。這當中有個最佳位置。
問 題
假設廣告牌闊度為2米（AB），底部距離地面4.6米（BD），人的眼睛距離地面1.6米（EF），那麽人距離廣告牌多遠（DF），望廣告牌時才可以有最大的視角（ AEB）（圖一）？
正 解
考慮一個通過A、B及E的圓形（圖二），普遍來說它會相交CE於另一點G，由圓形的特性，同弓形內的圓周角得知， AEB= AGB。
不難看到若是有另一點P在線段EG之上的話，那麽 APB必然大於 AEB。由此推想，若是這點P剛好使得圓形ABP與CE相切，則 APB為最大（圖三）。
要找到人與廣告牌的距離CP，先找出圓的半徑。
設圓ABP的圓心為H、HJ⊥AB，則BJ平分AB，得BJ=1=HI。另外HP⊥CE， BI⊥HP，得HP=HI+IP=1+3=4，即半徑為4。由於半徑HB為4，HI為1，由畢氏定理得BI=[42-12= 15] ，即CP=[15] 米。
因此最佳距離為[15] ?3.87米。
簡化討論 具現實參考價值
回頭看看這問題，說的是看廣告牌的事情，原來都會跟圓形特性有關，而且算出來的數字，大概也很難猜得出來的。
若果把題目中的數字改變一下，計算的方式也不會有很大的變化。比如廣告牌闊一點，或者眼睛與地面的距離遠一點，想法也差不多。
話說回來，這次講最佳距離講了很久，那麽剛才講的最佳是什麽意思？其實就是在眼睛固定高度的情況下，只可以身體前後移動的情況下，得出來的最大視角而言。若是這個移動的人，還可以站高一點，或者蹲着看，眼睛與地面的距離可以改變，計算方式也略有不同。
另外，廣告牌其實並不像題目中那樣是一條線段，而是一個平面，有長度的，因此若果考慮立體的情況，情況又頗有不同。加上人還可以左右移動，現實情況是更複雜。
「最佳」僅限特定條件
這樣說，現實既然那麽複雜，以上的討論豈不是不太合乎現實嗎？這也不盡然。數學本身雖然經常把問題理想化一點，與現實是有誤差，但也可以有多少參考價值，只需要在討論過程中把誤差多少說清楚，知道與現實情景相距多遠就可以了。
由於現實的條件可以逐步引入，所以題目中所指的最佳，只是依於那個特定的情景而言，現實中應用起來，結果可能只有參考的作用，未必能生搬硬套。有時候看到了別人用數學討論問題，就覺得很客觀似的，他們說什麽是最好的，好像就多了幾分真實。
覺得他們所說的是真之前，可以先了解一下，他們所說的最好是什麽意思？或者在什麽條件下的最好？這些問題思考多了，又會對數學多了一點體會。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
逢星期三見報