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【奧數揭秘】從巧算中打穩基礎

2017-09-20

數學中經常都出現許多算式,加減乘除的,符號一多,挺複雜。

中小學不時都會學巧算技巧,但練習時就題題差不多,平常好像用不了,好像練起來都是為練而練,不太知道怎洛峞A或者學來有什炳o荂C這篇就來談談巧算。

問 題

計算[(1+ )][2] [1][+][3] [1][×][( + )][3] [1][+][4] [1][2] [1][-][(1+ )][2] [1][+][3] [1][+][4] [1][×][( + )][3] [1][2] [1]

答 案

若是用平常的分數加法,去通分母,分子相加再做分數乘法,那當然是可以得到答案的。這裡嘗試用一個代換的方法。

留意到[( + )][3] [1][2] [1]經常出現,不妨設[a=][3] [1][2] [1][+]。

原式變成

因此答案是[4] [1]。

巧算反思不足 助穩固基礎

剛才的方法,令到解題變得比直接計算的關鍵,就是留意到[( + )][3] [1][2] [1]出現在算式不同的部分,若果把它當作是一個部分,用a表示,就可以在代數的層次上作化簡。這題之中,化簡的效果是比較明顯,這固然是因為數字本身是特別設計,但普遍來說,對茪@道複雜的算式,把當中重複的部分,當作是一個未知數,然後作代數化簡的技巧,是普遍用得荂C

另外,觀察剛才這一題,a在最終的答案裡沒有出現,因此原式中的a,原來可以不止是[( + )][3] [1][2] [1],可以是更複雜的,比如是[( + )][6] [1][+][7] [1][+][8] [1][5] [1],答案仍是一樣。

想像一下,若是剛才問的是:計算

[-][(1+ + )][6] [1][+][7] [1][+][8] [1][5] [1][×][4] [1][×][( + + )][6] [1][+][7] [1][+][8] [1][5] [1]

[×][4] [1][(1+ + + )][6] [1][+][7] [1][+][8] [1][5] [1][( + )][6] [1][+][7] [1][+][8] [1][5] [1]

那樣若是直接計算的話,情況就複雜多了。現在就知道答案原來仍是[4] [1]。這樣看來,在代數層次的化簡後,可以有助推算結果。

巧算除了本身有特別的技巧可以學,另外在學習之先,學生初次面對的時候,容易有一種陌生感,這種陌生的感覺,會令基礎不穩的學生,在探索的過程中,呈現種種的問題。比如這篇的問題,學生遇上的時候,可能因為覺得是巧算題,總是想去找特別的做法,未找到時,嘗試起來,有時分數加法也會錯起來。

有些在課內讀得不錯的學生,做課內的分數加法可以是很準的,但遇上變化多端的巧算題目,有時太想去找特別方法,有時又觀察到一點點數字之間的關係,在想像和推理之間,思考起來就有點亂,比平常容易出錯。

這也是常見的。也由於巧算能令學生知道基礎有所不足,就能夠令學生有深一層的謹慎,在練習巧算中得到更穩固的基礎。

事實上,奧數的問題,表面上的問法多數都是變化多端的,其中比較難的,若是沒探索過五分鐘十分鐘,未必可以知道怎樣茪漶C而這一段探索的時間能不能熬得住,也不是人人都可以的。還有的是,在嘗試中,未成功之前,一直能保持荓擠蚰蕭T,亦是基礎比較優秀的同學才做得到的。

由以上看來,巧算固然有它技巧精妙的部分,但它的教學作用,除了是在一些特殊情況提供了捷徑,亦在於能鞏固基礎。若是平常的基礎運算上仍是有困難,學起巧算來,反而會不時想起奇奇怪怪的方法,越做越慢。學習上基礎要穩固,關鍵還是寧拙勿巧,先用平常的方法先做得非常準確了,才去嘗試在巧算中求進步。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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