數字有時用一些特別的形式排列起來，找找規律，當中也是會有點小發現的。以下先提出一個找規律的小問題，再討論今次要談的問題。
若把單數如下述一般排列起來，找找最右那邊的數，那也有點不容易的。
1
3, 5
7, 9, 11
13, 15, 17, 19
21, 23, 25, 27, 29
......
上列之中，若是要找第n行最右邊的單數是什麽，那怎樣找呢？
由第一行起，1是第1個單數，第二行最右邊是5，那是第3個單數，第三行最右邊是11，那是第6個單數，第四行最右邊是19，那是第10個單數。留意到剛才所說的1，3，6和10，是有規律的，10=4+3+2+1，6=3+2+1，3=2+1和1=1，全都是三角形數，普遍來說，1+2+3+...+n= [n(n+1)] [2]。因此第n行最右邊的數，是第 [n(n+1)] [2]個單數，也就是[n(n+1)] [2][2×][-1=n2+n-1]。
有了這個結果，討論以下的問題時就簡單一點了。
問 題
考慮如下算式，找出規律並證明。
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
答案
不難看出，等號右方是立方數，普遍來說，第n行的等號右邊就是n3。只是這還不過是個猜想，未可當為事實。以下就一步一步來證明。
由之前的討論得知，第n行等號左邊的最右邊的項，是n2+n-1。而第n行共有n個單數，相鄰項之間相差2。因此第n行左邊由大至小加起來是：
(n2+n-1)+(n2+n-1-2)+(n2+n-1-4)+(n2+n-1-6)+...+[n2+n-1-2(n-1)]
=n(n2+n-1)-2[1+2+3+...+(n-1)]
=n3+n2-n-2×[n(n-1)] [2]
=n3+n2-n-n2+n
=n3
這樣便證明了左邊第n行加起來真是n3。
清楚沉實表達 訓練精細謹慎
回頭看看這道題目，開始時還不過是把單數順着排列，每行1個、2個、3個那樣順序排。那樣找找最右邊的數也好，最左邊的也好，好像沒什麽特別。後來倒神奇了，原來每行加起來竟是立方數，這還真是有點始料不及，令人覺得有點驚奇。
在小學階段，學奧數的學生，多數都是頭腦靈活的，找規律大概都難不倒他們，比如看着上邊的問題，說得出右邊是立方數的大概也不少。只是較少人會真個走去證明它的。就是中學生，願意猜到規律後，沉沉實實地做好那證明的，也是較少的。
上邊的問題所訓練的，除了是當中必要的代數技巧以外，還有的是作猜想的能力，另外還有把通項表達清楚的能力。剛才討論第n行的時候，第一步是找等號左邊的最右邊的項怎樣用n表示。要留意這也不是任意的，比如若果選擇去找最左邊的項的表達式，又會麻煩了一截。
另外，當中最右邊的項，由觀察到它是第幾個單數，到計算出那個單數是什麽，也要轉換一下，要說得清清楚楚那個規律，才可以轉換得準確。
這些找規律的問題，有時純粹猜猜加起來是怎樣，固然有趣味。只是要在數學上清清楚楚地說出各個數的表達式具體怎麼樣，寫出來又沒有錯，思想又要仔細點了，要沉實多了，沒有猜數字那麼輕鬆簡單的。
最易錯的地方是，有時數着數着，轉換幾次，總會相差了一點點，不是錯了某個正負號，就是不知哪個項數多了一次兩次。這些錯誤也不能只說是「不小心」便輕輕帶過，當作沒事，總要在沉實而詳盡的表達中，訓練出精細和謹慎來。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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