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【奧數揭秘】函數迭代 化繁為簡

2018-07-04

在數學裡,函數是一個重要概念,大致上來說,就是一個用來描述兩個數的相應關係的概念。對於一個數x,它對應於另一個與x相關的數f(x),比如f(x)=3x+1,那洪=2的時候,f(2)=3×2+1=7。這個對於函數的理解,是一種粗略的理解,在課程內,函數的意思,也會按茪ㄕP程度,有茪ㄕP層次的描述方式。剛才描述的理解方式,對於以下內容已經足夠。

由於函數是在描述數量之間的關係,因此在數學裡經常出現,比如圓面積公式πr2,也可以表示為A(r)=πr2。注意這個f(x)裡的括號,與乘法的括號是沒關係的,只是函數表示方式的一部分,千萬要分清楚。

這次談到的函數迭代,就是把函數自身反覆代入的意思,比如剛才的f(x)=3x+1,若是代入它自己本身,就是f(f(x))=3(3x+1)+1=9x+4,若是一直這樣做下去,不難想像到,是相當複雜的事。剛才的這個函數,表達式上還算簡單,若果原本的表達式複雜一點,再加上迭代數次後,那個最終的表達式,可以是複雜到不得了。

這次分享一道關於函數迭代的問題,看看在巧妙的技巧中,怎樣化簡了那狠ぞ曭瘍雂ヾC

問 題

設f(x)=x2+12x+30,求方程f(f(f(x)))=0的最大實根。

答 案

初看這道題目,若是硬生生的先求出f(x2+12x+30)=(x2+12x+30)2+12(x2+12x+30)+30的話,那未做下去就已經知道非常複雜。

這裡先做一點代數的變形,那樣會有大幅簡化的效果。

留意到f(x)=x2+12x+30=(x+6)2-6。那

f(f(x))=((x+6)2-6+6)2-6=(x+6)4-6

f(f(f(x)))=((x+6)4-6+6)2-6=(x+6)8-6

因此方程是(x+6)8-6=0,得其中一個實根為[x=6 -6][1] [8]。留意到若[x>6 -6][1] [8],則(x+6)8-6>0,因此為[x=6 -6][1] [8]最大實根。

領略數學簡潔美

在解題過程中,之所以把迭代的變化變得那玲眾獢A關鍵在於當中用上了配方法(completing square)。這個只是在這一題有明顯效果而已,其他就不能一概而論。

其他也有些技巧比較常見的,比如橋函數法和不動點法之類,不過在奧數裡,這些都是頗困難的技巧,有興趣的讀者可以在網上尋找相關條目。

在迭代的過程之中,對於不同的x值,在反覆迭代之中,相關的數值變化起來,差異也可以很大。比如f(x)=3x+1之中,若x=0,代入後得f(0)=1,f(1)=4,f(4)=13,變起來的規律不太明顯。若果考慮[1] [2][x=-],則f(-[1] [2])=3×(-[1] [2])+1=-[1] [2],即是代入之後和原本的數值一樣,這就是f(x)的不動點。

在函數迭代之中,原本的x值改變一點,跟最終迭代多次後的數值是不是差一點點,可以是兩回事。比如剛才的[1] [2][x=-]=-0.5,就是怎樣迭代都一樣,若是差一點變成x=-0.51,迭代幾次之後都是完全不同。

函數迭代的題目,由於它有明顯的複雜性,因此在反覆迭代之中,最終能化簡成為一道簡單的算式,當中的成功感是很大,而且也會看到數學裡簡潔的美。

由於在數學技巧來說,在奧數的範圍內仍是相當複雜的課題,在課程內是難以接觸的,即使偶爾在挑戰題上略有涉獵,但複雜程度也有限,跟奧數相關的題目難以相比,看到的變化也很有局限。這也令到奧數在介紹這個課題上,變得有意義了。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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