之前提過幾何學中的塞瓦定理，通常會跟另一條定理並提，這就是梅涅勞斯定理。放在一起的原因很簡單，就是因為梅涅勞斯定理可以用來證明塞瓦定理，不過寫出來的話就太多算式，讀者有興趣可以上網找找看。
梅涅勞斯定理：在△ABC的三邊BC、CA及AB或其延長線上有點D，E及F，若D，E及F共線，則[BD][DC] ．[CE][EA] ．[AF][FB] = 1（如圖一）
問 題
問題：在圖二裡，△ABC內，D為BC的中點，E是AB上的一點，F為CE與AD的交點，其中FD = 2FA。求[AE][EB] 。
答 案
考慮△ABD及直線EFC，則有
[AE][EB]．[BC][CD]．[DF][FA]= 1
[AE][EB]．[2][1]．[2][1] = 1
[AE][EB]= [1][4]
剛才這道題目，若果沒用到梅涅勞斯定理，也可以用三角形的線段比與面積比做到，有興趣的讀者可以試試。
這些線段比的問題，在奧數裡初次接觸的時間，多數在小五小六的比賽題目裡，通常是最難的那幾題。梅涅勞斯定理和塞瓦定理，為這些線段比的問題，提供了線索。
梅涅勞斯定理的背景是簡單的，就是一個三角形和另一條線與三角形三邊的交點，就有這個線段比關係。任意一個三角形和直線的情景是很普遍的，也就顯示了這個線段比關係是相當普遍。另外，梅涅勞斯定理的逆定理也是成立的，也就是說，若是△ABC三邊BC、CA及AB或其延長線上，有三點D、E和F，符合
[BD][DC]．[CE][EA]．[AF][FB]=1，則D、E和F共線。梅涅勞斯的逆定理，是思考點共線問題的一個方向。
談起塞瓦定理與梅涅勞斯定理，其實有點難學，因為課程內沒有，奧數裡才有，於是練習的都是奧數題目，那當然相當有難度。遇着一些寫得深入淺出的奧數書還罷了，遇到難的練習，真的會明知要應用，卻解不了題。當然，若是遇上這種情況，要練習也可以，就是自己出題目。
比如說，按着題目的情景，畫個三角形，然後量度一下線段長度，再用定理驗證一下，這也是練習的方法。到驗證了幾次，也可以改一改情景，由淺入深地練，或者連繫其他定理。
這種學習當然是難的，比起書中就有練習要困難許多。只是平常的書局裡，數學書又少又難找，雖然網上書店有不少，但找到適合自己的還是很困難。
看着一道定理，只要自己有點出題目的能力，就可以驗證一下結果，或者跟其他定理綜合應用一下，或者對舊題目作一些新的解釋，或者加添一些看舊問題的新角度，也是練習的方向。
這點學習是不是有點刻苦呢？當然的，不過能承擔這點苦，也就造成了自己與其他人的分別。越過了一個難關，也就比那些過不了關的人好。才能不是天掉下來的，一關一關地過，就會明白，自己為什麼跟其他人有點分別，然後自信就來了。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。■香港數學奧林匹克學校
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