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奧數揭秘:從黑板到球場的圓

2016-11-23

課室內,學生在不同位置坐荂A看荈穠O時,因茪ㄕP位置的關係,看到黑板字的大小也不相同。除了知道越貼近黑板能看得越清楚以外,還可以深入知道什洸O?

在圖一中,各點代表學生的位置,而AB則是黑板。圖中∠AEB就是在E點的同學看荈穠O時的視角範圍。角度越大,同學看到的黑板就大一點,角度越小,同學能看到的就小一點。

由圓形內接四邊形的定理得知,∠AEB=∠AFB,因此在E點和F點的同學,能看到的黑板大小是相同的。

這裡要留意的是,同學與黑板距離遠了,能看到的黑板大小,不一定就小。好像圖一中的E和F點,E點是比F點近,但視角的大小,是沒有分別的。這一點若是不仔細用數學看,未必能看得到這炤ХT。

再看看圖一,若是考慮的地方不是課室內,而是球場,AB表示的不是黑板,而是龍門,各點的位置是射球的位置,那樣對射球有什炳狴靬O?

由於影響射球成功率的其中一個重要因素是射球的角度大小,因此,由∠AEB=∠AFB得知,該兩點的射球角度是一樣大的。

圓形是什麼?

從上面兩個情景看來,原先只是講黑板看來有多大,或者是射球時什泵鼽m的角度會一樣,突然也跟圓形內接四邊形的性質有關的,這個還真有點意想不到。

圓形的出現,在生活上是常常不自覺的。比如平常手臂沿茠蚖H轉動,就是一個圓形,或者固定手肘的位置,移動前臂,前臂掃出來的軌跡,就是一個扇形,即是圓形的一部分。身體上凡是轉動關節,多少都會有個圓形或扇形的軌跡。

圓形既然那炳`見,那究竟圓形是什洸O?這個問題問起來,不少人會說一元硬幣的形狀,或是太陽月亮的形狀,但總是說不出確實的含意來。

圓形其實就是一個移動點與一個固定點的距離固定時,那個移動點的軌跡。

由於圓形本身是講兩點距離的問題,所以圓的方程也就跟距離公式幾乎一模一樣,也就是說,若圓心坐標為(h,k),半徑為r,那炮磣峈漱韏{為:

(x-h)2+(y-k)2=r2

通過代數的表達式,原先課室裡看黑板這回事,原來隱約之間也和代數有點關係。

再談談課室內看黑板的情景,可以提出一個問題,就是:

問 題

若果有個學生,覺得看到的黑板不夠大,他想走前一點看黑板,但由於秩序關係,老師只容許他移動1米,那洛L可以怎樣走,才可以有效令到他的視角最大呢?

答 案

粗略來說,當然是走近一點黑板就可以了,但還是可以看得仔細點的。在圖二中,若學生在E點,而相鄰的座位剛好1米,那樣學生要走近黑板,最遠就可以去到以E點為圓心,半徑為1米的圓周上。

而他的視角大小,就要看他的位置C與黑板兩端形成的角度大小,即∠ACB的大小。若果要∠ACB的角度最大,就要找一個以AB為弦的圓形,而且半徑盡量小,剛好與圓心為E的圓形相切的位置。

小 結

在課室內上課,看不清黑板,然後前後移動一下,想看清楚黑板這回事,大概許多人都做過的,只是想到這個跟圓形內的數學規律有關,可能就比較少了。

生活中遇到的圓形,有明顯的,有隱藏的,數量比想像中多得很。因此深入了解圓形的特性,也就可以多一點工具去理解世界。課程內的各個階段,由圓形的各部分,到周界面積,圓心角和圓周角等等的關係,都在揭示了許多圓形的特性。圓形相關的數學題,不管是初等幾何,或者坐標幾何,都是千變萬化。

能夠綜合各方面的定理,在圓形相關的問題中,找到深刻的洞見,是值得培養的能力,這個方面各同學可以細心鑽研。 ■張志基

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