社會上的長者越多越多，安老院也不少，久不久就有些義工去探訪，派一點水果。派水果的時候，為了每人都有一些，會預多一點。
每次幾個幾個的派，由餘下的數量中，可以估算出長者的人數。
問 題
義工到安老院派水果給長者，每人有一個蘋果，一個橙和一個梨。義工家明每次拿7個蘋果去派，派完又拿7個再派，如此類推，一直派到最後，手上餘4個。義工家華每次拿5個橙去派，派到最後手上餘2個。
義工家輝每次拿3個梨去派，最後手上餘2個。粗略看來，估計長者少於100人，求長者人數。
答 案
設長者有x人。由家明7個7個地派，最後手上餘4個，即最後一次只派了3個，得知x除以7餘3。類似地，由家華的情況，得知x除以5餘3；由家輝的情況，得知x除以3餘1。
由x除以7餘3及除以5餘3，得知若x除以7和5的最小公倍數35，亦餘3。之後考慮除以35餘3的正整數，由小至大依次為38、73、108、108大於100，因此不用再考慮比108大的數。
再檢查除以3餘1的條件，得知長者人數為73人。
「韓信點兵」簡單化
這道題數學的一面來說，就是有一個未知數x，分別除以3個數之後，得出3個餘數，那麽這樣的最小正整數x是什麽？這是一個在數學上知名的問題，叫「韓信點兵」。
求出這樣的x的普遍方法，稱為「中國剩餘定理」，當中另外要求x除以的這3個數之中，任意兩個互質，即最大公因數是1，而且相關的數字亦可不止3個。網上相關的文章有很多，不過符號是挺多的，看來比較複雜，以下嘗試就定理的基本思路，指出重點。
先考慮x這個數的形式，設x=(3)(5)(a)+(5)(7)(b)+(7)(3)(c)，其中a、b和c都是未決定的數。為什麽要這樣設定呢？因為這樣只需要找到適當的a、b和c，就能使x符合條件除以3餘1，除以5餘3和除以7餘3的條件。不過算出來可能會過大，需要略為調整。
這樣的x除以3的話，(3)(5)(a)和(7)(3)(c)兩項都是3的倍數，對x除3的餘數沒影響。真正影響x除以3的餘數的，就只有中間的(5)(7)(b)=35b。而35b除以3的餘數，亦即除以3的餘數，因為其中35b=3×11b+2b。要使x除以3餘1，即要求2b除以3餘1，可取b=2。
同理，若x除以5，(3)(5)(a)和(5)(7)(b)都是5的倍數，影響餘數的就只有(7)(3)(c)=21c，21c=5×4c+c。若要使x除以5得3，可取c=3。
類似地可以考慮x除7，(5)(7)(b)和(7)(3)(c)都是7的倍數，影響餘數的就只有(3)(5)(a)=15a，15a=7×2a+a。若要使x除以7得3，可取a=3。
這樣x=(3)(5)(3)+(5)(7)(2)+(7)(3)(3)=178，比題目中的限制100還要大，不過只需要減去3、5和7的最小公倍數105，即可得178-105=73。
可推廣至其他數字
以上絕不單是把題目重新解一次，其意義在於，它能推廣至其他數字。當中把x的形式設定為x=(3)(5)(a)+(5)(7)(b)+(7)(3)(c)是關鍵的一步。
先取能與餘數相對應的a、b及c，然後再取3、5及7的最小公倍數105，再減法105的倍數就可以了。
再舉一例：正整數y除以3餘1，2餘1，7餘3。那樣要求最小的y，就考慮y=(2)(7)(a)+(3)(7)(b)+(3)(2)(c)。
經嘗試後得y=(2)(7)(2)+(3)(7)(1)+(3)(2)(4)=73，再減去3、2和7的最小公倍數42，得31為滿足條件的最小正整數。
結 語
以上是就着一個安老院分水果的問題，帶出了數論之中的中國剩餘定理，提供了基本的思路。
定理的正式的形式，需要用到許多同餘理論，同餘理論是奧數中常用的工具，威力強大，由於篇幅所限，日後再詳細介紹。 ■張志基
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