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【奧數揭秘】數字排列找規律

2017-10-18

數字有時用一些特別的形式排列起來,找找規律,當中也是會有點小發現的。以下先提出一個找規律的小問題,再討論今次要談的問題。

若把單數如下述一般排列起來,找找最右那邊的數,那也有點不容易的。

1

3, 5

7, 9, 11

13, 15, 17, 19

21, 23, 25, 27, 29

......

上列之中,若是要找第n行最右邊的單數是什活A那怎樣找呢?

由第一行起,1是第1個單數,第二行最右邊是5,那是第3個單數,第三行最右邊是11,那是第6個單數,第四行最右邊是19,那是第10個單數。留意到剛才所說的1,3,6和10,是有規律的,10=4+3+2+1,6=3+2+1,3=2+1和1=1,全都是三角形數,普遍來說,1+2+3+...+n= [n(n+1)] [2]。因此第n行最右邊的數,是第 [n(n+1)] [2]個單數,也就是[n(n+1)] [2][2×][-1=n2+n-1]。

有了這個結果,討論以下的問題時就簡單一點了。

問 題

考慮如下算式,找出規律並證明。

1=1

3+5=8

7+9+11=27

13+15+17+19=64

21+23+25+27+29=125

答案

不難看出,等號右方是立方數,普遍來說,第n行的等號右邊就是n3。只是這還不過是個猜想,未可當為事實。以下就一步一步來證明。

由之前的討論得知,第n行等號左邊的最右邊的項,是n2+n-1。而第n行共有n個單數,相鄰項之間相差2。因此第n行左邊由大至小加起來是:

(n2+n-1)+(n2+n-1-2)+(n2+n-1-4)+(n2+n-1-6)+...+[n2+n-1-2(n-1)]

=n(n2+n-1)-2[1+2+3+...+(n-1)]

=n3+n2-n-2×[n(n-1)] [2]

=n3+n2-n-n2+n

=n3

這樣便證明了左邊第n行加起來真是n3。

清楚沉實表達 訓練精細謹慎

回頭看看這道題目,開始時還不過是把單數順荓あC,每行1個、2個、3個那樣順序排。那樣找找最右邊的數也好,最左邊的也好,好像沒什炫S別。後來倒神奇了,原來每行加起來竟是立方數,這還真是有點始料不及,令人覺得有點驚奇。

在小學階段,學奧數的學生,多數都是頭腦靈活的,找規律大概都難不倒他們,比如看茪W邊的問題,說得出右邊是立方數的大概也不少。只是較少人會真個走去證明它的。就是中學生,願意猜到規律後,沉沉實實地做好那證明的,也是較少的。

上邊的問題所訓練的,除了是當中必要的代數技巧以外,還有的是作猜想的能力,另外還有把通項表達清楚的能力。剛才討論第n行的時候,第一步是找等號左邊的最右邊的項怎樣用n表示。要留意這也不是任意的,比如若果選擇去找最左邊的項的表達式,又會麻煩了一截。

另外,當中最右邊的項,由觀察到它是第幾個單數,到計算出那個單數是什活A也要轉換一下,要說得清清楚楚那個規律,才可以轉換得準確。

這些找規律的問題,有時純粹猜猜加起來是怎樣,固然有趣味。只是要在數學上清清楚楚地說出各個數的表達式具體怎麼樣,寫出來又沒有錯,思想又要仔細點了,要沉實多了,沒有猜數字那麼輕鬆簡單的。

最易錯的地方是,有時數蚍ェ荂A轉換幾次,總會相差了一點點,不是錯了某個正負號,就是不知哪個項數多了一次兩次。這些錯誤也不能只說是「不小心」便輕輕帶過,當作沒事,總要在沉實而詳盡的表達中,訓練出精細和謹慎來。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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