在中小學的階段，都會接觸過質因數連乘式，即是把正整數展開成質因數的乘積，比如24=23×3。初學時會覺得把簡簡單單的一個正整數，展開到那麽長的一條算式，是有點多此一舉，或許也會質疑為什麽要這樣做。而事實上，質因數連乘式可以幫助我們了解這個正整數的因數方面的資訊，例如：該正整數的所有因數、有多少個因數、因數之和等等。
以24為例，若是按小學的方法找因數，就要列出24=1×24=2×12=3×8=4×6，數字小的時候還容易的，到數字大了，用類似的方法，由小至大試起來，挺困難的。若是用質因數連乘式就不同了，先知道1是因數，然後21、22、23、31、21×31、22×31、23×31都是因數，看着順序就知道規律是挺明顯的，即使數字再大，也會有個有系統的方法，可以順着一個一個地找出因數來。
為了方便之後的討論，須知道1=20=30，普遍來說，對於非零的實數a，有a0=1。
因數即相乘2及3幾次方
由以上的討論看，24就是有8個因數了，那麽要求出這個8，有沒有捷徑呢？有的。留意24=23×3當中，2和3的指數分別是3和1，將兩個指數加1然後相乘，得(3+1)×(1+1)=8，就是因數的個數。
為什麽這樣，不妨看看上一段怎樣找因數。由於所有因數不外乎是2的次方和3的次方相乘，因此，2的次方有0、1、2、3共4個選擇，3的次方有0和1兩個選擇，因此共有4×2=8個因數。
那麽因數之和又是怎樣呢？就是(1+2+22+23)×(1+3)=60。左方的算式就是先把24的質因數2，由0次方、1次方、2次方、3次方地加起來，質因數3也是這樣，然後相乘，最後所得的積就是因數的總和。為什麽這樣就是因數的和呢？因為所有因數說到底就是把2的幾次方和3的幾次方相乘，而(1+2+22+23)和相乘之後，展開之後，會得到了所有2的幾次方和3的幾次方的所有配搭。即1+2+22+23+3+2×3+22×3+23×3。因此總和就是所有因數之和。
以下試試練習一下看看。
問 題
試找出60的因數個數以及其因數之和。
答 案
60=22×3×5，(2+1)×(1+1)×(1+1)=3×2×2=12。因此共有12個因數。
(1+2+22)×(1+3)×(1+5)=168，因此因數之和為168。
以上就是質因數連乘式的一些用處，而且還只是一小部分而已。當中求因數個數及因數之和之類的，課內比較少提及，多是奧數訓練才會學到。數學上這些都是初等數論的內容，奧數範圍內是數論方面的一些基本知識。
質因數連乘式對於正整數的分解方式是唯一的，即是對於每個正整數，分解出來後，表達方式只有一種。唯一分解的概念在數學裡是常見的，比如多項式的因式分解之類。對較為簡單的正整數的質因數唯一分解多了認識，然後學習其他唯一分解的知識時，也多了聯想和類比，學起來就容易多了。 ■張志基
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