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奧數揭秘:分糖果看痤它

2016-09-28

小時候有了糖果,除了會珍而重之地幾個一數來找出它的數量外,也可能會把糖果用不同的方法排列起來,好像圖一那樣。

這看來也沒什炫S別,不過是一種排列的方式而已。只是若果試將糖果用特別的分割方法來數算,就有點新發現了。看看圖二的數法,可以看到,這個32=1+3+5 ,初步還是一道簡單的算式,只是若果思考一下普遍的情況,算式中左邊的3以n來取代,那樣右邊的5,就是(2n-1),於是會看到n2=1+3+5+...+(2n-1)。

用圖解更直觀

再看看圖三的數法,以斜線數下去,是32=1+2+3+2+1,算式中左邊的3是和右邊的3是一樣的,普遍來說,就是n2=1+2+3+...n+(n-1)+...+2+1。

以上兩道算式合起來,得到1+3+5+...+(2n-1)=1+2+...+n+(n-1)+...+1。這個結果原先不太明顯,但有了圖解,就可以立即明白為什洧漡D算式會相等。

再看看n2=1+2+3+...+n+(n-1)+...+2+1,右邊可以寫成 [n(n+1)] [2][n(n-1)] [2][+],即是兩個連續三角形數的和。這個在展開成剛才這條等式的時候,要看通也不難的,只是若果看看用圖四怎樣了解,那就發現用圖的話就更直觀了。

配合中學痤它“U理解

圖四中左下角的就是1+2+3,右上角就是1+2。若是把圖形中的糖果增多了,每邊有n粒,全部有n2粒,那洛炊U角就是[n(n+1)] [2][1+2+3+...+n=],右上角就是[n(n-1)] [2][1+2+3+...+(n-1)=],也就是n2可以寫成兩個連續的三角形數的和。

或者再轉個數算的方式,如圖五那樣看看。圖中左下角部分是個每邊有2粒糖的正角形,比原圖的3粒少1粒。左上和右下的部分,都是2粒,而右上則是1粒。算式上可寫成32=22+2×2+1。

若考慮原圖每邊有n粒,則左下為每邊(n-1)粒的正方形,左上和右下都是(n-1)粒,右上仍然是一粒,得到等式n2=(n-1)2+2(n-1)+1。這道代數式在中二學過痤它‵寣A並不難理解,但圖解後就直觀得多了。

小 結

今期透過排列9粒糖,用不同的分割方法來數算,可發現一些痤它〞漯複[面貌。若進一步去數算和分割更多數量的糖果或其他物件如麵包,會看到什狩邞熊它〝O?下集再談。 ■張志基

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