小時候有了糖果，除了會珍而重之地幾個一數來找出它的數量外，也可能會把糖果用不同的方法排列起來，好像圖一那樣。
這看來也沒什麽特別，不過是一種排列的方式而已。只是若果試將糖果用特別的分割方法來數算，就有點新發現了。看看圖二的數法，可以看到，這個32=1+3+5 ，初步還是一道簡單的算式，只是若果思考一下普遍的情況，算式中左邊的3以n來取代，那樣右邊的5，就是(2n-1)，於是會看到n2=1+3+5+...+(2n-1)。
用圖解更直觀
再看看圖三的數法，以斜線數下去，是32=1+2+3+2+1，算式中左邊的3是和右邊的3是一樣的，普遍來說，就是n2=1+2+3+...n+(n-1)+...+2+1。
以上兩道算式合起來，得到1+3+5+...+(2n-1)=1+2+...+n+(n-1)+...+1。這個結果原先不太明顯，但有了圖解，就可以立即明白為什麽兩道算式會相等。
再看看n2=1+2+3+...+n+(n-1)+...+2+1，右邊可以寫成 [n(n+1)] [2][n(n-1)] [2][+]，即是兩個連續三角形數的和。這個在展開成剛才這條等式的時候，要看通也不難的，只是若果看看用圖四怎樣了解，那就發現用圖的話就更直觀了。
配合中學恒等式助理解
圖四中左下角的就是1+2+3，右上角就是1+2。若是把圖形中的糖果增多了，每邊有n粒，全部有n2粒，那麽左下角就是[n(n+1)] [2][1+2+3+...+n=]，右上角就是[n(n-1)] [2][1+2+3+...+(n-1)=]，也就是n2可以寫成兩個連續的三角形數的和。
或者再轉個數算的方式，如圖五那樣看看。圖中左下角部分是個每邊有2粒糖的正角形，比原圖的3粒少1粒。左上和右下的部分，都是2粒，而右上則是1粒。算式上可寫成32=22+2×2+1。
若考慮原圖每邊有n粒，則左下為每邊(n-1)粒的正方形，左上和右下都是(n-1)粒，右上仍然是一粒，得到等式n2=(n-1)2+2(n-1)+1。這道代數式在中二學過恒等式後，並不難理解，但圖解後就直觀得多了。
小 結
今期透過排列9粒糖，用不同的分割方法來數算，可發現一些恒等式的直觀面貌。若進一步去數算和分割更多數量的糖果或其他物件如麵包，會看到什麽樣的等式呢？下集再談。 ■張志基
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