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【奧數揭秘】棋盤上談構造法

2017-02-22

這一年多以來,圍棋界人與電腦的大戰,掀起了一陣圍棋的熱潮。談起圍棋,與棋盤相關的奧數問題,是相當多的。不單止是圍棋棋盤,也有國際象棋的棋盤,棋盤的尺寸有大有小,當中有許多隱藏的規律,令到簡單的兩三句話,就可以依據邏輯,推論到很深入,見到一些表面難以覺察的定律。

【問題】在4×4的棋盤上,隨意填上1與-1。若是把每個方格的數字改變為相鄰方格之積,其中相鄰的定義為彼此有公共邊,那洵O否能經過有限次這樣的變換後,使得所有方程中都是1?

說明:比如下列左方的方格,經一次變換後,就變成了右邊的。

【答案】看茪W方說明的圖,又1又-1的,看蚆棬u眼花繚亂,因此之後的圖都留空了1的方格,以免看來太複雜。

這題看來,還真是摸不蚗Y腦的,究竟是不是能做到也不知道,那思考的方向是怎樣呢?是肯定還是否定?這也是其中一個難處。

若是普遍都能做到,那就要提出一個普遍都能做到的方案。若是無法做到,就要提出一個永遠無法變成全部1的形式。

而事實是,這種無法變成全部1的形式,是存在的。因此問題的答案是否定的。而該形式如下:

這個形式的特徵是,它是在變換後仍然維持原狀的,因此所以-1都不會變了位置。而且這些變換後維持原狀的形式,還不是唯一的。

【結語】構造法解題靠靈感

看茬o題的答案,有些人可能會問,那怎樣想出來的?好像無緣無故做了一個形式出來,就解決了,完全好像沒先兆似的。的確是這樣,這就是構造法解題的特點了。

構造法解題是什洸O?簡言之就是把答案的形式做出來。作出來的過程,固然可能是一步一步地推理出來,但亦可能是毫無先兆的靈感中創造出來的。

在一定的條件下,經過一些嘗試,猜想和許多失敗之中,毫無預知的情況下,突然有一下子想了出來。作出來的形式可能在理解上是很簡單的,正如上方的問題答案,該形式在測試後就知道是真確的,但要做出來,未必是開始時就會想得通。

構造法相關的問題,是奧數其中一個極大的難點,不時都出現在奧數問題中最難的部分。即使知道了要構造,也可以想不出怎樣構造,沒有既定的方法,更沒有所謂題型。即使能成功構造出來的人,也未必可以講得出怎樣想出來的。這種構造性問題,完全跳出了課程內的數學那種差不多事事有跡可尋,有定理有方法之類的思維,在解構造性問題之中,學生會對數學有另一層次的體驗。

在奧數之中學習解難,其中一個重要的體會是,對於一個難題,不一定有普遍可行的做法。在解難之中,找尋萬能鑰匙的思想,是常見的誤區,這點心思是要避免的。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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