談起奧數，其中一種問題的形式是很常見的，就是填算式。填算式就是通常有些文字或英文字母，每個字代表一個數字，相同的字代表相同的數字，不同的字代表不同的數字。
一般來說，一道填算式的解就是求出所有文字代表的數字。其中一道差不多凡是學過奧數的都見過類似的，就是：
奧數揭秘×9＝秘揭數奧
上式表示的「奧數揭秘」是一個四位數，上邊的橫線常用來代表四個位合起來是同一個數。當然許多人見過的版本都跟這個不一樣，但答案都是奧數揭秘=1089。
填算式對不少學生來說，是非常有趣的，因為需要的數學技巧門檻不高。最簡單的就是逐個數字去嘗試，看看進位或者做點估算之類，想法很多元化，而且程度不同的學生，都可以或多或少做到一部分。
而解題當中，解法好不好的分別，就在於怎樣在各種策略中洞察出部分的數字，令到嘗試的次數越少越好。
這次分享的填算式，嘗試用一點較特殊的技巧去解，方法會快很多。
問 題
以下算式中，各英文字母都是非零的數字，試解出最大的GHI。
ABC + DEF = GHI
答 案
由於各字母代表的數字不同，而且要求最大，GHI最大可能是987。這樣一直試下去，情況是很多的，並不是一個有效的方法。
觀察到算式中剛好有9個字母，即1至9全都在算式之中。得知
A+B+C+D+E+F+G+H+I
=1+2+3+...+9=45
因此左方9個數字的和是9的倍數。
其中G+H+I除以9的餘數，也就是GHI除以9的餘數。
其中A+B+C+D+E+F除以9的餘數，也就是ABC+DEF除以9的餘數。
而ABC+DEF及GHI分別就是原本等式的兩邊，是相等的，因此除以9的餘數也相等，而且兩個餘數相加後是9的倍數。這個相同的餘數，可以嘗試0、1、2......7、8，很快知道只有0才可能。即是GHI本身是9的倍數，最大的可能是981。
確定了GHI的數值，還得要找到一套相應的ABC+DEF，才算完成。而這是不難做到的。
746+235=981
因此最大的GHI是981。
鍛煉推理能力 多角度嘗試
這題其中一個難處，就是如何確定GHI的數值。基本上，若是確定得了，要試出答案來並不困難的。只是做起來就未必能找到洞察出最大GHI的方法。
以上用到了關於餘數的技巧，在奧數裡是常見的，當中洞察出來的資料，解起題來跟盲目嘗試是完全不能相提並論。餘數相關的技巧，在數論中有同餘的課題，是強大的工具，這個在以上問題中，可見一斑。
填算式初看是易掌握的，多少能開始嘗試，但真想學得深入，開始要求方法要有系統，嘗試的次數要足夠少，若果題目有多個解時要求全部求出，以至自己嘗試創出一道題時，足夠困難而且答案要唯一，當中的難度是層層遞進，遠不如初次嘗試時一般簡單。
有時同一題填算式，隔些日子再做，看到的角度又會多了，新學的工具又用得上，也是有的。
學習填算式的意義，粗淺地看是因為易懂和有趣，深入一點看，是在鍛煉推理能力，學會由多個角度去看一道算式，並且有系統地嘗試。漫無目的地嘗試，長遠是很難有發展的。
題目是同一題，學生學習的方法和態度、對自身的要求，就會影響學到了什麽。所得的大小，就看自己的要求了。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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