這次分享一道關於平方數和整除性的問題。
問 題：證明：用數字1，2，3，4，5和6組成的六位數，不能是平方數。
答 案：用3的整除性作考慮，將各數相加，得1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21，得知該數必是3的倍數。3的倍數，又是平方數，必然是9的倍數。根據9的整除性，由於21不是9的倍數，從而該數不是9的倍數。故此用此六個數字組成的六位數，必不是平方數。
解題過程中，運用了3和9的整除性，留意到各數相加，是3的倍數而非9的倍數，從而得到結論。這題從基礎知識上來說，是高小的程度，也適合做一些初中的奧數啟蒙題目。
學生在奧數啟蒙的階段，適合做一些看來陌生，而需要運用學生過去經驗和知識的題目。題目看起來陌生，學生看着時，也就沒既定做法，於是就需要重新組織一下經驗，也會在回想過去經驗之中，得到一些知識的回顧，在反覆嘗試之中，得到應用知識的機會，從而加強了基礎。也在綜合應用之中，明白到經驗和知識在重新組合之後，可以有新的發現。
除了在組織知識和經驗上有所發現，也會明白到，表達上單靠過去列式和心算，漸漸難以解決較難較複雜的問題。好像做一些組合問題，就很難一下子列出正確的算式，往往需要許多圖解和列舉，才漸漸發現當中的規律，一步一步引入加法乘法，從而得到答案。
好像剛才這一題，該六個數字剛好是1至6，用3和9的整除性就足夠推出結論。若是把數字改一改，情況就複雜了很多，要解決的話，就可能需要列舉很多情況出來。
這些把幾個數字拼在一起，然後想想它有什麼特性的題目，在奧數裏很多。比如上述的題目中，有多少個4的倍數，有多少個平方數，當中某個數是由小至大的第幾個數，或者是各個位加起來是20的又有多少個，諸如此類。這些問題在中小學的階段，很容易提問出來，作為一點小小的探索，也相當有趣味。
若果鑽研下去，這些問題中就需要一些較高年級的知識，平常多思考，有了疑問之後，日後看書，或者問起老師來，也可能會找到一些新的線索。現在互聯網發達，也可以在網上找找有沒有相關的知識。即使找到之後未必看得明白，但保留一些問題在心中，久不久思索一下，也是探索學問的一點樂趣。
有時學生學奧數，挺怕有些問題想不通。其實說到底，數學就是有無數難題自己是想不通的，只是自己沒主動接觸時，比較少見到而已。有心學多一點數學時，總是有些題目不會做，要思索一下，那樣未想通的就保留下來，之後繼續思考就可以了。或者當下未有興趣去挑戰一些較難的題目，那就隔些日子再試，也就可以了。什麼問題都好像解決了，這感覺只是一時的，在前進的路上，總是充滿疑問。■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校