對於任意的三角形，我們可以在它的內部作一內接圓，而這個內接圓的圓心稱為「內心」（incenter），如圖 1 所示。
圖 1：三角形的內接圓及內心
內心是不難找出來的，因為它是三角形的三條角平分線的交點，見圖 2。
圖 2：三角形的三條角平分線
內接圓與三角形的三邊相切，而內接圓的半徑垂直於三角形的三邊。
由圖 3 可見，三角形被分成三個高為 r 的小三角形，所以三角形面積亦可以透過它的邊長與其內接圓的半徑連繫起來。
圖 3：內接圓的半徑
設三角形的三邊分別為 a、b 及 c，其內接圓的半徑為 r，
那麼該三角形的面積為
[ar][2] [br][2] [cr][2] [+][+][=r][．][a+b+c][2] [=rs]，其中[a+b+c][2] [s=] 。
問 題
在只有直尺及鉛筆的情況下，找出圖 4 中的三角形的內心。
我們可以透過三角形面積去求出內接圓的半徑 r。
先在圖中加上三角形的高，高為 12 單位，底為 14 單位（圖 5）。圖中會出現兩個直角三角形（圖 6）。
應用畢氏定理先求出三角形的邊長（如右圖），然後求出該三角形的面積。
三角形的面積 =[14×12] [2]= 84 平方單位。
另一方面，s=[13+14+15] [2]=[14×3] [2]=21。
因此rs=84， 解得 r = 4。
內心必定位於角平分線上，接下來就是要找出三角形的其中一條角平分線。
我們可利用等腰三角形得出其中一條角平分線。於圖 4 中加上虛線得出一個腰長為 13 的等腰三角形，標示該虛線的中點，然後將該點與對角連線便可得出一條角平分線，如下圖所示。
由於內接圓的半徑為 4 ，且與三角形的三邊互相垂直，根據這兩點可知道內心的位置（下圖）。
結 語
解答這道題目的關鍵在於利用三角形面積得出內接圓的半徑，由此可見平面圖形的面積其實不只是用來量度圖形的大小這麼簡單，而是可被利用來寫出關係。一些重要的定理，如畢氏定理、正弦公式等都可以透過三角形面積來證明的。 ■蔡欣榆
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