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【奧數揭秘】用欄名演示填算式

2017-03-01

談起奧數,其中一種問題的形式是很常見的,就是填算式。填算式就是通常有些文字或英文字母,每個字代表一個數字,相同的字代表相同的數字,不同的字代表不同的數字。

一般來說,一道填算式的解就是求出所有文字代表的數字。其中一道差不多凡是學過奧數的都見過類似的,就是:

奧數揭秘×9=秘揭數奧

上式表示的「奧數揭秘」是一個四位數,上邊的橫線常用來代表四個位合起來是同一個數。當然許多人見過的版本都跟這個不一樣,但答案都是奧數揭秘=1089。

填算式對不少學生來說,是非常有趣的,因為需要的數學技巧門檻不高。最簡單的就是逐個數字去嘗試,看看進位或者做點估算之類,想法很多元化,而且程度不同的學生,都可以或多或少做到一部分。

而解題當中,解法好不好的分別,就在於怎樣在各種策略中洞察出部分的數字,令到嘗試的次數越少越好。

這次分享的填算式,嘗試用一點較特殊的技巧去解,方法會快很多。

問 題

以下算式中,各英文字母都是非零的數字,試解出最大的GHI。

ABC + DEF = GHI

答 案

由於各字母代表的數字不同,而且要求最大,GHI最大可能是987。這樣一直試下去,情況是很多的,並不是一個有效的方法。

觀察到算式中剛好有9個字母,即1至9全都在算式之中。得知

A+B+C+D+E+F+G+H+I

=1+2+3+...+9=45

因此左方9個數字的和是9的倍數。

其中G+H+I除以9的餘數,也就是GHI除以9的餘數。

其中A+B+C+D+E+F除以9的餘數,也就是ABC+DEF除以9的餘數。

而ABC+DEF及GHI分別就是原本等式的兩邊,是相等的,因此除以9的餘數也相等,而且兩個餘數相加後是9的倍數。這個相同的餘數,可以嘗試0、1、2......7、8,很快知道只有0才可能。即是GHI本身是9的倍數,最大的可能是981。

確定了GHI的數值,還得要找到一套相應的ABC+DEF,才算完成。而這是不難做到的。

746+235=981

因此最大的GHI是981。

鍛煉推理能力 多角度嘗試

這題其中一個難處,就是如何確定GHI的數值。基本上,若是確定得了,要試出答案來並不困難的。只是做起來就未必能找到洞察出最大GHI的方法。

以上用到了關於餘數的技巧,在奧數裡是常見的,當中洞察出來的資料,解起題來跟盲目嘗試是完全不能相提並論。餘數相關的技巧,在數論中有同餘的課題,是強大的工具,這個在以上問題中,可見一斑。

填算式初看是易掌握的,多少能開始嘗試,但真想學得深入,開始要求方法要有系統,嘗試的次數要足夠少,若果題目有多個解時要求全部求出,以至自己嘗試創出一道題時,足夠困難而且答案要唯一,當中的難度是層層遞進,遠不如初次嘗試時一般簡單。

有時同一題填算式,隔些日子再做,看到的角度又會多了,新學的工具又用得上,也是有的。

學習填算式的意義,粗淺地看是因為易懂和有趣,深入一點看,是在鍛煉推理能力,學會由多個角度去看一道算式,並且有系統地嘗試。漫無目的地嘗試,長遠是很難有發展的。

題目是同一題,學生學習的方法和態度、對自身的要求,就會影響學到了什活C所得的大小,就看自己的要求了。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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