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【奧數揭秘】等腰三角形

2021-01-20

這次分享一道關於等腰三角形的問題。

問 題:已知三角形一條邊的長度與其對角大小固定,證明當周界最大時,該三角形是等腰三角形。

答 案:如圖一,由正弦定理,得知[a][sin A]  = [b][sin B]  = [c][sin C]  = 2R,其中R為外接圓半徑,不妨設a和A是固定的邊和角。

由於a是固定,周界何時最大,只需要考慮b + c。

b + c

= 2R sin B + 2R sin C

= 2R (sin B + sin C)

= 2R.2sin [B + C][2]  cos [B - C][2] 

= 4R sin [180o - A][2]  cos [B - C][2] 

由於A是固定,sin [180o - A][2] 亦是固定,當b + c為最大時,必有cos [B - C][2]  = 1,即[B - C][2]  = 0,得B = C,因此當周界最長時,該三角形是等腰三角形。

解題過程中用上了正弦定理、三角函數的和差化積,與餘弦值極大值的知識。正弦定理在探索三角形的邊和角之中,有重要的功用。大致來說,就是兩邊和兩對角的關係中,有一個未知的時候就用得上。配合餘弦定理,在三邊一角的情景下,找其中一個未知量,就可以計算出許多三角形相關的量。這些三角形內部的邊和角的探索,在立體幾何中有無數應用,課程內很重要,奧數堿O初中的內容。

用類似的想法,其實也可以討論在同樣條件,面積何時最大的問題。三角形的面積就是[1][2]  bc sin A,要求最大值,只需討論bc。留意到bc = 4R2 sin B sin C = -2R2 [cos (B + C) - cos (B - C)] = 2R2 [ -cos (180o - A) + cos (B - C)],當B = C的時候,cos (B - C)是1,達到bc的最大值。

討論面積時這樣想固然可行,但也有個簡單的想法,就是把△ABC放在一個圓堙A如圖二,將長度固定的BC水平放荂A那如果A是固定的話,A就是BC上方圓周上的點,當A在最高點A'的時候,面積就會最大。

後面提到的想法,在處理面積問題時是挺快的,但想用在原本談周界的問題上就很複雜了。因為A在圓周上不同位置時,左邊大了,右邊就小了,兩者相加的變化怎樣,就沒那麼明顯。

關於一個圖形的周界與面積何時最大的問題,有個數學結果名為等周定理,意思是當平面上的圖形有固定周界時,以圓形的面積為最大。這個定理的數學表達式也很簡潔的,就是周界是P,面積是A的時候,有4πA ? P2。結果看起來簡潔,但證明起來也不是憑直覺就想得出來,有興趣的讀者可以在網上找找相關的條目看看。 ●張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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