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李向榮 香港理工大學應用數學系副教授
每逢筆者給學生介紹條件概率（conditional probability）及貝氏定理（Bayes Theorem）時，都會用上那個著名的「蒙提霍爾三門問題」（Monty Hall problem），作為一個有趣的例子來闡明有關的運算技巧。當然，這個問題之所以聞名於世，是有關答案看似違反直覺（counterintuitive）。所以，在每次講解後，筆者也預計當中會有學生不敢相信計算出來的結果而要爭論一番。
不少人被錯誤直覺誤導
未曾聽聞蒙提霍爾Monty Hall 這個名字的朋友請別誤會，這位仁兄並非是甚麼古代著名數學家，亦不是從事有關方面工作的人。其實，蒙提霍爾是一個美國電視遊戲節目Let's Make a Deal 的主持人。而「蒙提霍爾問題」是這節目的其中一個遊戲的簡化版本。首先，參與者會被安排面對3道門。在這3道門的後面，只有其中1道有1輛汽車，其餘的兩道則各有1頭羊，遊戲的目的是讓參與者估計哪1道門後面有汽車。主持人會先讓參與者選定1道門。然後，主持人就從其餘兩道門中開啟其中1道沒有汽車的門（主持人當然清楚知道每道門的後面是甚麼）。雖然1道門已被開啟，剩下的兩道門（包括參與者先前所選定的那1道）仍然緊閉。這時，主持人會再次問參與者，會否改變初衷，選擇另外1道仍然緊閉的門。究竟參與者應否改變原先的選擇呢？既然只剩下兩道門，不少人會被錯誤的直覺所誤導，認為車在兩道門後面的機會均等。當然，對貝氏定理有所認識的朋友來說，會知道汽車在各道門後面的條件概率是不等同的。改變初衷選擇另外1道門是比較有優勢的（車在另外1道門後面的條件概率是2/3）。
在1975年，UC Berkley的Steve Selvin 首次在American Statistician稱這問題為「蒙提霍爾問題」。其後在1990年，一位據說擁有IQ高達228的知名女士Marilyn vos Savant 在她那非常受歡迎的星期日Parade雜誌專欄裡，發表了「蒙提霍爾問題」的答案（她亦是“The World's Most Famous Math Problem”(1993) 的作者）。刊出後，隨即掀起了廣泛的關注。 其實，早在1959年，Martin Gardner已在 Scientific American 發表過性質跟這個問題完全一樣的Three Prisoners Problem。而更早期的，在1889年，Joseph Bertrand在他的Calcul des probabilites也提出過這問題，後來被稱之為Bertrand's Box悖論。可是，這些老名字現在已經甚少碰到，而Steve Selvin所冠以的「蒙提霍爾」稱號已經是今天最「潮」的稱號了。
國際數學大師也陷誤區
違反直覺，是「蒙提霍爾」惹人爭議的關鍵。當年Marilyn vos Savant亦被很多一時「想不開」的數學家及統計學家所攻擊，有些言論甚至是非常不禮貌的。
曾經，國際知名的數學大師Paul Erdos（有翻譯為「保羅艾狄胥」）也錯誤地認為剩下兩道門的機會是均等的。原本，是他的老朋友Andrew Vazsonyi首先給他介紹「蒙提霍爾問題」的。但Andrew Vazsonyi並未可以令他信服及理解其中玄機，幾乎還要「反面」收場（雖然他倆是於十多歲時在出生地匈牙利布達佩斯認識的）。當時，Andrew Vazsonyi甚至用上了電腦模擬（Monte Carlo simulation）演算，也未能成功說服Paul Erd窃。最後，是由Paul Erd窃的另一位好友Ron Graham給出了一個令他滿意的解釋。這一段小插曲，可以在兩本有關Paul Erdos的傳記裡找到：Paul Hoffman的“The Man Who Loved Only Numbers”及Bruce Schechter的“My Brain is Open”。
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