上集我們透過排列和分割的方法來數算糖果，從而發現一些恒等式的直觀面貌。今集我們會看看運用圖解法來解題的好處。
先來試試如何分割一塊1個單位的正方形麵包，那會看到什麽樣的等式呢？參考右圖，若將正方形平分成四等份，那麽左下角（1）的部分就是[3][4] ；然後再將右上角餘下的[1][4] ，再平分為四等份，當中左下角（2）的部分就是[3][4] [1][4] [×]。之後一直把餘下的[1][4] 再平分為四等份，如此類推，最後把所有左下角的部分加起來。由於右上角的部分越來越小，到後來接近零。於是就會得到一道算式：1?[3][4] [3][4] [+][(][)][1][4] [+][3][4] [(][)2][1][4] [+][3][4] [(][)3+......][1][4] 若有等比級數的知識，就知道把算式右邊的項加起來的總和是[1][1-] [3][4] [×][1][4] =1，跟算式左邊一樣。
由此可見，把圖形分割時，如果分割的方式有規律的話，有時可以發現一些不明顯的等式。最後以一道題目，看看直觀如何幫助我們快速看到答案。
問 題
觀察下圖的分割方式，計算1+2×4+4×4+6×4+...+(2n)×4。
題 解
算式的頭幾項，其實就是把糖果由內而外排起來時的情景，上圖就是1+2×4+4×4=52。等式右邊的5，恰好就是左邊最後一項，乘號左方的4多1。
原本的題目就是由裡而外，直至最外一層，以4組各自為2n粒糖果圍成的正方形。因此原本的問題答案，可以猜想是(2n+1)2。直接計算驗證如下：
結 語
這道奧數題不算複雜，不過在圖解之下，一下子就洞察出答案了。可見用圖像的直觀，不單可以在一些情景下得到等式的快速解法，也是發現等式和代數關係的方法，且當中跳過了許多計算和邏輯推論的步驟。這是一種探索和猜想的思考方式，但得到的結果，還是需要在邏輯上證明的。
能夠在圖像中猜想，在邏輯上證明，這樣就比單用推理，會得到更豐富的結果，又可以提出更多的問題。在提問與解答之間，互動多了，數學上的經驗也會豐厚了不少。（二之二） ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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