logo 首頁 > 文匯報 > 教育 > 正文

【奧數揭秘】坐標變換

2021-03-24

這次談談一道極值的問題,也談坐標變換的事情。

問題:已知x2 + xy + y2 = 19,求u = x2 + y2的最大值。

答案:設x = a cosθ,y = a sinθ,則u = a2。

根據條件,得a2cos2θ + a2sinθcosθ + a2sin2θ = 19

a2 (1 + [1][2]  sin 2θ) = 19

若sin2θ為最小,即-1,則a2為最大,得u最大為a2 = 19 × 2 = 38。

解題中最關鍵的步驟,在於對未知數做了變換,把原本的x和y換成了a cosθ和a sinθ。這樣的變換,對於u = x2 + y2的形式,由於有sin2θ + cos2θ = 1的等式,所以會化簡為u = a2。當中在三角函數的變化上,也用上了二倍角公式,sin2θ = 2sinθcosθ,這是高中延伸部分的內容。

在變換的過程中,原本的算式裡也有x2 + y2的部分,於是化簡後再用上二倍角公式,未知數除了a以外,就只餘下一個三角函數sin2θ,然後在算式裡,單獨觀察一個三角函數的變化,就容易知道最大最小值是什麼。

在變換的過程中,算式可以大幅化簡,固然是題目的設計有點特殊,然而變量的代換,卻是普遍的思路。題目中的代換方式,將x和y分別化為a cosθ和a sinθ,也是常見的代換方式,原因是在平面上,任意一點P坐標是(x , y)的話,而與原點的距離為a,由x軸逆時針掃過OP的角為θ,則x和y分別為a cosθ和a sinθ。(見圖一)這個變換其實就是坐標變換,把平常用的笛卡兒坐標,變成極坐標的過程。

由於變換坐標是一個普遍可行的過程,所以平常有x和y的算式,只要是描述兩個未知數的關係,都可以換上極坐標去考慮。算式在表達上可以有分別,例如在計算過程中,可以用上三角函數的法則,從而得到算式的一些隱藏資訊,比如最大最小值之類。

在課程內解坐標幾何的題目,多數會有個固定的坐標去擬定題目,但若是解一道幾何題又沒有坐標時,嘗試引入坐標,想法就自由多了。坐標可以是笛卡兒坐標,也可以是極坐標,而且哪個方向是x軸也是任意的,還有長度多少才算是一個單位,也可任意設定。每個不同的坐標設定,推導出來的算式,形式會大有分別,幾何的關係卻一致,所以若能找到簡單的形式去表達各個變量的關係時,推論過程會變得簡潔而有效率。

只要有了坐標變換的思路,就明白代數式本身的形式是沒固定的,只需要找到一些代換的方式,前後能互換的,形式就可以有大幅變化。看來是二次的,也可變成三角函數,喜歡的話,也可以變成對數指數之類,只要能方便計算,就可以自行變換。

這些坐標變換的概念,聽來好像挺數學化的,跟生活沒什麼關係,其實這些才是生活裡每天都接觸到的事情。平常自己看茈|周,也會想知道面前的東西距離自己多遠,算是在什麼方向。

這個距離多遠,就是上方提到極坐標裡的a,而方向這回事,若果以右手的方向為極軸,則逆時針掃到該事物的角度為θ。

在生活裡看茈|周的事物,總是要判斷距離、角度、速度之類的事情,這些若果用坐標去講明一些事情的位置的話,當中有許多方程和函數在當中。這些聽來抽象的數學,其實是隱藏在生活中的。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

讀文匯報PDF版面

新聞排行
圖集
視頻