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奧數揭秘:用手估算物體體積?

2016-10-12

這期我們來看看怎麼估算物體的大小。

問 題 一

拿起一個長方形的空盒子,若是手上沒有尺,那洛i以怎樣估算這個空盒子的體積呢?

題 解

如果長方形的長、闊和高,全部都用眼看,那樣好像太難了,估了對結果也沒什洮H心是準確的。

那爰楖掍峇漇度度看怎樣?比如用食指,量度一個粉筆盒差不多大小的盒子,那會怎樣?一度下去,長和闊之類的,總是差茖洶@點點,又不完全是一隻食指那洩齱A有時會長一點,有時又短一點。好像單用手指的長度,也不太準確。

怎樣可以準確一點呢?可以再用一個比食指長度短的單位來量度,比如指甲的長度,那樣差一點點的時候,也可以微調一下。不妨設手指長度為x,指甲的長度為y,那炬陘l的長度,度出來時,比如是一隻食指的長度,加上兩個指甲的長度,總長度就是x+2y。

量度大物件可用手掌手臂

另外,為了討論方便,不妨假設量度得出的闊度為x-y,高為x。那玳橦n就是x(x+2y)(x-y)=x3+x2y-2xy2。

雖然對於自己的手指和指甲的長度,未必有最準確的認識,但長度的範圍也大約有概念的。比如指甲的長度大概一厘米左右,食指的長度是7個指甲左右,即是7厘米左右。於是體積大概是73+72×1-2×7×12=378cm3。

以上這個量度和估算方式,當然不只是可以用手指和指甲那樣,比如量度一些較大的物件,就可以用較大的單位,比如手掌和手臂之類,而較小的單位,可以用一些與大單位長度相距數倍的東西。

那樣用兩者表示出各長度的代數式,然後體積、面積和周界等等資料,都可以有個代數表達式。之後若果想求得較準確的數值,也可以之後再用尺來量度兩個基本單位的準確值。

其中在估算當中,亦有點數值運算的技巧的。比如之前關於體積的代數式x3+x2y-2xy2,其中y是遠比x小的數字,為了討論方便,假設y=0.1x,那洛N數式就變為x3+0.1x3-0.02x3=1.08x3,這樣由x與y的比例中,再得到了更簡單的估算式。

問 題 二

運用一個500毫升的圓柱體水壼,估算一支塗改液的蓋的長度。

題 解

設全支塗改液的長度為x,蓋的長度為y。量度出水壼的底半徑大概是y,而高度則大概為x+1.5y,那麼體積就是πy2(x+y)。把塗改液的蓋與整支的長度比較,得出大概是x=3y。因此得出算式:

πy2(3y+1.5y)=500

4.5πy3=500

y≈3.28

究竟真實的長度是多少呢?是3.4 cm。這個完全是真實的情景來的,而且結果相當準確,百分誤差小於5%,的確是一個令人驚喜的結果。

結 論

由以上可見,原來即使沒有精確的尺,也可以多少用一些較常見的長度,去表達出一些需要估算的長度。然後通過得出來的代數式,可以進一步估計出各個單位之間的比例,然後得出更簡單的代數表達式。最後可以通過估算原有單位去計算體積,或者反過來由已知的體積估算出原有單位的長度。

在學校的數學遊蹤活動裡,其中一項就是去叫學生去估算球場的大小。經過這樣的估算,由原先對一件事物的大小完全沒概念,到大概可以知道它的大小,過程中不過是用上了代數式和一些比例概念,這也是數學工具能為生活帶來的一些洞見。 ■張志基

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