這期我們來看看怎麼估算物體的大小。
問 題 一
拿起一個長方形的空盒子，若是手上沒有尺，那麽可以怎樣估算這個空盒子的體積呢？
題 解
如果長方形的長、闊和高，全部都用眼看，那樣好像太難了，估了對結果也沒什麽信心是準確的。
那麽試試用手指度度看怎樣？比如用食指，量度一個粉筆盒差不多大小的盒子，那會怎樣？一度下去，長和闊之類的，總是差着那麽一點點，又不完全是一隻食指那麽長，有時會長一點，有時又短一點。好像單用手指的長度，也不太準確。
怎樣可以準確一點呢？可以再用一個比食指長度短的單位來量度，比如指甲的長度，那樣差一點點的時候，也可以微調一下。不妨設手指長度為x，指甲的長度為y，那麽盒子的長度，度出來時，比如是一隻食指的長度，加上兩個指甲的長度，總長度就是x+2y。
量度大物件可用手掌手臂
另外，為了討論方便，不妨假設量度得出的闊度為x-y，高為x。那麽體積就是x(x+2y)(x-y)=x3+x2y-2xy2。
雖然對於自己的手指和指甲的長度，未必有最準確的認識，但長度的範圍也大約有概念的。比如指甲的長度大概一厘米左右，食指的長度是7個指甲左右，即是7厘米左右。於是體積大概是73+72×1-2×7×12=378cm3。
以上這個量度和估算方式，當然不只是可以用手指和指甲那樣，比如量度一些較大的物件，就可以用較大的單位，比如手掌和手臂之類，而較小的單位，可以用一些與大單位長度相距數倍的東西。
那樣用兩者表示出各長度的代數式，然後體積、面積和周界等等資料，都可以有個代數表達式。之後若果想求得較準確的數值，也可以之後再用尺來量度兩個基本單位的準確值。
其中在估算當中，亦有點數值運算的技巧的。比如之前關於體積的代數式x3+x2y-2xy2，其中y是遠比x小的數字，為了討論方便，假設y=0.1x，那麽代數式就變為x3+0.1x3-0.02x3=1.08x3，這樣由x與y的比例中，再得到了更簡單的估算式。
問 題 二
運用一個500毫升的圓柱體水壼，估算一支塗改液的蓋的長度。
題 解
設全支塗改液的長度為x，蓋的長度為y。量度出水壼的底半徑大概是y，而高度則大概為x+1.5y，那麼體積就是πy2(x+y)。把塗改液的蓋與整支的長度比較，得出大概是x=3y。因此得出算式：
πy2(3y+1.5y)＝500
4.5πy3=500
y≈3.28
究竟真實的長度是多少呢？是3.4 cm。這個完全是真實的情景來的，而且結果相當準確，百分誤差小於5%，的確是一個令人驚喜的結果。
結 論
由以上可見，原來即使沒有精確的尺，也可以多少用一些較常見的長度，去表達出一些需要估算的長度。然後通過得出來的代數式，可以進一步估計出各個單位之間的比例，然後得出更簡單的代數表達式。最後可以通過估算原有單位去計算體積，或者反過來由已知的體積估算出原有單位的長度。
在學校的數學遊蹤活動裡，其中一項就是去叫學生去估算球場的大小。經過這樣的估算，由原先對一件事物的大小完全沒概念，到大概可以知道它的大小，過程中不過是用上了代數式和一些比例概念，這也是數學工具能為生活帶來的一些洞見。 ■張志基
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